"Principios Mathematicos"
Livro IX
Apresentação
de João Filipe Queiró
Departamento de Matemática -
Universidade de Coimbra
www.mat.uc.pt/~jfquero/cunha.pdf
Definição I. Uma série convergente chama os Matemáticos àquela, cujos os termos são semelhantemente determinados, cada um pelo número de termos precedentes, de sorte que sempre a série se possa continuar, e finalmente venha a ser indiferente o continua-la ou não, por se poder desprezar sem erro notável a soma de quantos termos se quisesse ajuntar aos já escritos ou indicados: e estes últimos indicam-se escrevendo &c. depois dos primeiros dois ou três, ou quantos se quiser: é porém necessário que os termos escritos mostrem como se poderia continuar a série, ou que isto se saiba por outra via.
Seja o um numero que se4 possa desprezar
sem erro notável. Usando o que nós hoje chamamos de axioma de Eudoxo –
Arquimedes (Axioma I do Livro III), Cunha mostra que a sucessão 1, 1/c,
1/cc, 1/ccc,…se pode encontrar um termo, seja ele d, maior do que 
. Ele faz isso
representando d com 1 mais uma soma de diferenças de termos consecutivos na
sucessão e depois substituindo cada uma destas diferenças (que é a menor). Em
seguida prova que por mais que se continue a série geométrica original a partir
do termo 
, a soma obtida será sempre menor do que 
, ou
seja pela escolha de d, será sempre menor do que 0.
Num Corolário, Anastácio da Cunha afirma que a série
é convergente para qualquer a. Demonstra isto mediante a comparação termo a termo de uma série resto da série dada com uma série geométrica convergente. De novo, o raciocínio é feito para a>0 mas, não há restrições na validade do resultado (o que se está de facto provando é a convergência absoluta): quando as há, Cunha explicita-se no enunciado das proposições.
Num segundo Corolário afirma-se, sem demonstração, que a série
é convergente para a<1 (o que, de acordo com o dito antes, deverá entender-se -1<a<1).
Definição II.
Representem a e b dois números quaisquer, e seja c o número que faz 
a expressão ab significa um número 
Imediatamente a seguir a esta definição (o que significa definir ab por ebloga), Cunha demonstra, na Posição II, que para todo o a positivo (condição explícita no enunciado) existe c satisfazendo a primeira igualdade da definição: c é dado pelo bem conhecido desenvolvimento
que, pelo Corolário 2, é convergente
para 
, isto é, para a>o. (Que esta série tem por soma log(a)
tinha sido observado já no século XVII.)
Na Proposição IV demonstra-se, usando a definição II, que, sendo a positivo e b e c quaisquer, se tem abac=ab+c.
E o Livro IX continua com a apresentação de várias propriedades das potências e logaritmos, todas demonstradas – embora com um tratamento informal das operações com séries – usando a definição de potência acima transcrita. No Livro XVI esta é ainda usada, sem mais comentários, também para expoentes complexos, ao estabelecer-se a fórmula de Euler eiz = cós z + i sin z.
Na proposição VII do Livro IX estuda-se
a série binomial, com as condições correctas da convergência. O enunciado da
proposição é assim: “denote A e o termo precedente será: 
contando que, quando n não for número inteiro positivo,
seja Q<1.” 
Em Portugal, uma rigorosa análise do Livro IX dos princípios Matemáticos foi feita no ano 1940 por Vicente Gonçalves, professor da Universidade de Coimbra. Esta obra tratava de séries infinitas e de potências.
O historiador Youschkevitch do instituto de História das Ciências e das Tecnologias de Moscovo nos anos 70 publicou dois artigos sobre esta mesma obra. É neste trabalho que analisa com rigor os livros IX e XV dos Princípios Matemáticos.