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Primeira proposição:
«Qualquer círculo é equivalente a um triângulo cuja altura e base são o raio e a circunferência do círculo.» |
A base do triângulo é a circunferência rectificada, isto é, endireitada, ao passo que a altura é o raio. Mas, então, a área do triângulo é igual à área do círculo.
Vejamos:
o triângulo tem por base pd = 2pr, se com d e r indicamos o diâmetro e o raio da
circunferência; mas a área de um triângulo é a base vezes a altura divididas por dois.
No nosso caso é, por isso, 2pr x r/2 = (2pr2)/2, isto é, pr2 (área do círculo).
Arquimedes prossegue com este trabalho no tratado Do Método onde escreve:
"Desde o momento em que qualquer círculo é equivalente a um triângulo tendo por
base a circunferência e por altura o raio, qualquer esfera é equivalente a um cone tendo
por base a superfície e por altura o raio da esfera".
Segunda proposição:
«A relação do círculo com o quadrado circunscrito é próxima da relação de 11 com 14». |
Atendendo à época, em que os cálculos da área do círculo eram remetidos para o quadrado, este é um resultado muito importante e nada banal.
Se o quadrado vale 14 então o círculo vale mais ou menos 11.
Terceira proposição:
«O perímetro de qualquer círculo é igual ao triplo do diâmetro aumentado de um segmento compreendido entre os dez sessenta e um avos e o sétimo do diâmetro». |
Este resultado dá-nos o valor de p por defeito e por excesso.
É desta forma genial que Arquimedes é considerado por Michel Serres "o mestre presente, passado e futuro, da fígura-símbolo da geometria".
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