Segundo o platonismo, os objectos matemáticos são entidades reais. A sua existência é um facto objectivo, totalmente independente do nosso conhecimento. Conjuntos infinitos, conjuntos infinitos não numeráveis, variedades de dimensão infinita, curvas que preenchem o espaço - todos os membros do jardim zoológico da matemática são objectos bem determinados, com propriedades fixas e particulares, sendo algumas conhecidas e muitas delas desconhecidas. Estes objectos não são, naturalmente, objectos físicos ou materiais. Existem fora do espaço e do tempo. São imutáveis, não foram criados num qualquer passado longínquo e não mudarão nem desaparecerão no futuro. Qualquer questão significativa acerca de um objecto matemático tem uma resposta bem determinada, quer sejamos capazes de a determinar ou não. De acordo com o platonismo, um matemático é um cientista empírico, como um geólogo. Não pode inventar nada, porque tudo já existe. Tudo o que pode fazer é descobrir.
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Segundo o
formalismo, não existem objectos matemáticos. A Matemática consiste apenas em axiomas,
definições e teoremas - por outras palavras, em fórmulas. De um ponto de vista extremo,
existem regras pelas quais se deduz uma fórmula a partir de uma outra, mas as fórmulas
não são acerca de coisa alguma: são apenas combinações de símbolos. É claro que os
formalistas sabem que as fórmulas matemáticas se aplicam por vezes a problemas físicos.
Quando se dá a uma fórmula uma interpretação física, ela ganha um significado, e pode
ser verdadeira ou falsa. Mas esta veracidade ou falsidade tem a ver com a própria
interpretação física. Enquanto fórmula puramente matemática, ela não tem significado
algum.
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