Gottlob Frege tenta reduzir a aritmética à lógica. Ora, em 1901, Bertrand Russell descobre uma contradição no sistema de Frege. Considere-se o conjunto y de todas as entidades que não são membros de si próprias, isto é, x Î y se, e só se x Ï y ( a colecção de Russell). Deduz-se que se y Î y se, e só se, y Ï y. Este paradoxo também foi descoberto independentemente por Ernst Zermelo em 1902.
Segundo Russell, o Paradoxo surge por existir uma violação do princípio do círculo vicioso. Em colaboração com Alfred North Whitehead, Russell reformula e recupera o programa logicista de Frege baseando-se para isso no bloqueio dos círculos viciosos através da doutrina dos tipos lógicos. Resulta a denominada teoria dos tipos, que se revelou uma fórmula problemática de desenvolver a teoria dos conjuntos. Modernamente, evita-se o paradoxo porque se abstém de considerar que a propriedade « x Ï x » define um conjunto. Dito de outro modo, a colecção de Russell não é um conjunto, é uma classe.
Uma forma mais popular de ilustrar o Paradoxo de Russell é o:
Paradoxo do barbeiro
Há em Sevilha um barbeiro que reúne as
duas condições seguintes:
1) faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias
2) só faz a barba a quem não fizer a barba a si próprio.
O aparente paradoxo surge quando tentamos saber se o desventurado barbeiro faz a barba a
si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si
próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba a si próprio, então
tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a condição 1 para que ele se decida a
desempenhar o seu ofício.
Para aprofundar mais, todo este assunto, sugerimos-lhe que navegue uma pouco na página: Cartas entre Russell e Frege.
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