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 Álgebra II
Evariste Galois
 Évariste Galois (1811–1832)
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"[...] it was Galois who was the first to use the word group (in French groupe) in a sense close to the technical sense that is understood today, making him among the founders of the branch of algebra known as group theory. [...] He also introduced the concept of a finite field (also known as a Galois field in his honor), in essentially the same form as it is understood today." [Wikipedia]
  
Noether)
 Emmy Noether (1882–1935)
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"Emmy Noether is universally regarded as the greatest woman mathematician so far. Here we look at some of her work in the creation of modern algebra. [...] Then there is the Noether who turned physicists away from conservation laws and towards symmetries and symmetry groups." [Gray]
  
Noether
  Modelo padrão da Física das Partículas. Neste diagrama, SU(3), SU(2) e U(1) são grupos de simetrias.
  
algebras
  

Objetivos

Estudar conceitos fundamentais comuns para as principais estruturas da álgebra (grupos, anéis e módulos), como homomorfismos, subestruturas, quocientes, teoremas de isomorfismo, produtos e somas diretas.

Introduzir tópicos complementares mais específicos sobre essas estruturas.

Dar exemplos de estruturas algébricas de matrizes, homomorfismos e outros operadores, pois é dessa maneira mais concreta que a álgebra usualmente se aplica.

Introduzir o lema de Zorn e ilustrar o seu uso no contexto algébrico.

Programa

Conceitos fundamentais comuns
As principais estruturas algébricas: grupos, anéis e módulos. Homomorfismos. Subestruturas. Estruturas quocientes. Teoremas de isomorfismo. Produtos diretos e somas diretas.

Grupos
Ações de grupos. Conjugação, centralizador, normalizador e centro. p-Grupos, teorema de Cauchy e teorema de Sylow.

Anéis
Ideais primos e ideais maximais. Existência de ideais maximais em anéis não triviais. Domínios euclidianos e domínios de ideais principais. Fatorização única.

Módulos
Módulos livres. Anéis com IBN. Existência de bases em espaços vetoriais.

Extensões de corpos
Extensões algébricas. Corpos de decomposição. Extensões separáveis. Classificação dos corpos finitos.

Bibliografia

Bibliografia principal

  • ● Texto de apoio.
  • ● [Allenby] R. B. J. T. Allenby, Rings, Fields and Groups, 2nd ed., Edward Arnold, 1991.
  • ● [Fraleigh] J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th ed., Pearson, 2014.
  • ● [Gomes] G. Gomes, Anéis e Corpos, Departamento de Matemática da FCUL, 2011.
  • ● [Hungerford-13] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, An Introduction, 3rd ed., Brooks/Cole, 2013.

Outras referências bibliográficas

  • ● [Brison] O. J. Brison, Teoria de Galois, 4ª ed., Departamento de Matemática da FCUL, 2003.
  • ● [Cameron] P. J. Cameron, Introduction to Algebra, 2nd ed., Oxford (book web page), 2008.
  • ● [Devlin] K. Devlin, The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd ed., Springer, 1993.
  • ● [Fine&al] B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, Springer, 1997.
  • ● [Freitas] P. J. Freitas, Polinómos, Departamento de Matemática da FCUL, 2010.
  • ● [Gray] J. Gray, A History of Abstract Algebra, From Algebraic Equations to Modern Algebra, Springer, 2018.
  • ● [Hall] B. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2nd ed., Springer, 2015.
  • ● [Hungerford-74] T. W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974.
  • ● [Prasolov] V. V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2004.
  • ● [Shult&al] E. Shult, and D. Surowski, Algebra, A Teaching and Source Book, Springer, 2015.

Outras leituras

Vídeo

Fernando Silva <fasilva@ciencias.ulisboa.pt>