Problema de Apolónio

Este problema aparece na obra Tangências. E é o seguinte: Dadas três coisas, cada uma das quais pode ser um ponto, uma recta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas.

Apolónio considerava dez casos possíveis para o resolver:

(1) Três pontos;

(2) Três rectas;

(3) Dois pontos e uma recta;

(4) Duas rectas e um ponto;

(5) Dois pontos e uma circunferência;

(6) Duas circunferências e um ponto;

(7) Duas rectas e uma circunferência;

(8) Duas circunferências e uma recta;

(9) Um ponto, uma recta e uma circunferência;

(10) Três circunferências.

Os dois primeiros casos são os mais fáceis e aparecem no livro IV dos Elementos de Euclides. Os casos 3, 4, 5, 6, 8 e 9 são tratados no livro I da obra Tangências, os casos 7 e 10 aparecem no livro II Tangências.

Dos dez casos possíveis, o último foi aquele que maiores dificuldades colocou. Na verdade, segundo Boyer, "os estudiosos do século dezasseis e dezassete em geral pensavam que Apolónio não tinha resolvido o último caso, por isso o consideravam um desafio às suas capacidades" (in, Elza Gomide  História da Matemática, página 98). 

Viete e Newton foram alguns dos matemáticos que sugeriram uma solução para esta caso.