__________________________________________________________________________
|
A ideia de Arquimedes, que parte da
mecânica, consiste em considerar a igualdade entre duas relações a/b =c/d como análoga
ao estado de equilíbrio de uma alavanca submetida a dois pesos P1 e P2 tal que: GB/GA = p2/p1 . Porque quer avaliar um secção de parábola AB, precisa de encontrar uma figura em que essa proporção exista.
|
|
Encontra essa proporção na figura
geométrica ao lado em que AD é tangente à parábola AB, e onde BD é paralela ao eixo.
Ao considerar EFG paralela a BD as propriedades específicas da parábola permitem-lhe
demonstrar: BE/BA = EF/EG (1) O esprito do "método"
consite em considerar (1) como uma igualdade entre uma relação de comprimento BE/BA e
uma relação de peso EF/EG. Todos os segmentos possíveis EF e EG compõem
respectivamente a secção de parábola e o triângulo ABD. |
|
Como os meios dos segmentos EG
estão todos situados sobre a mediana AK, o "peso" EG fica, portanto, suspenso
no seu centro de gravidade L no extremo do braço da alavanca KL. Além disso, BD e EG são paralelas, portanto BE/BA = KL/KA (2), Como KL é o braço da alavanca que sustém EG, será preciso um braço de comprimento KA para sustentar EF. É por isso que Arquimedes constrói, no prolongamento de KL, um segmento KT = KA (3) no extremo do qual coloca o peso RS = EF (4) de tal maneira que T seja o meio de RS, quer dizer o seu centro de gravidade |
|
Como os meios dos segmentos EG
estão todos situados sobre a mediana AK, o "peso" EG fica, portanto, suspenso
no seu centro de gravidade L no extremo do braço da alavanca KL. Além disso, BD e EG são paralelas, portanto BE/BA = KL/KA (2), Como KL é o braço da alavanca que sustém EG, será preciso um braço de comprimento KA para sustentar EF. É por isso que Arquimedes constrói, no prolongamento de KL, um segmento KT = KA (3) no extremo do qual coloca o peso RS = EF (4) de tal maneira que T seja o meio de RS, quer dizer o seu centro de gravidade. |
|
Com a ajuda das igualdades
precedentes, deduz-se: RS/EG = KL/KT , quer dizer, o equilíbrio à volta
de K do sistema peso-alavanca. K é, portanto, o centro de gravidade do sistema triângulo e parábola (na forma de segmentos que a compõem transportados para T). |
|
Além disso X, tal
que KX = 1/3 KA , é centro de gravidade do triângulo (cf. tratado Do Equilíbrio das
Figuras Planas), portanto KX = 1/3 . parábola/triângulo = KX/KT = 1/3 .
|
|
Acabámos de ver como é que Arquimedes verifica que a secção de parábola vale um terço do triângulo ABD. De facto, ele exprime os seus resultados dizendo que ela vale os quatro terços do triângulo ABC (o maior contido na secção). Isso deve-se às propriedades da parábola que permitem mostrar que I e C são meios de AB e IJ, portanto que ABC vale 1/4 de ABD; o que termina a demonstração.
|
________________________________________________________________