O  Hotel Infinito

O Hotel Infinito, situado em Infinitópolis, tem um número infinito de quartos, um por cada número inteiro, estando numerados de 1 até ao infinito. Um dia, estando os quartos todos ocupados, chegou um viajante que pretendia pernoitar nesse hotel.  

Empregada: Desculpe, mas vai ser impossível hospedá-lo. Estamos esgotados.  

O viajante pediu para falar com o gerente do hotel, para tentar arranjar uma solução, visto que não existia mais nenhum hotel em Infinitópolis.

Gerente: Realmente, não temos vagas, mas eu vou arranjar-lhe um quarto.

Mandou mudar todos os hóspedes de cada quarto para o quarto com o número seguinte, deixando assim o quarto 1 vago para o viajante.  

No dia seguinte apareceram 5 casais em lua-de-mel, pedindo quartos. A empregada mandou então mudar os hóspedes de cada quarto para o quarto com um número superior em 5 unidades, deixando os primeiro 5 quartos vagos para os 5 casais recém-chegados.  

No dia seguinte chegou uma excursão com um número infinito de turistas, tantos quantos os números inteiros, pedindo alojamento. A empregada ficou atrapalhada:  

Empregada: Sr. Gerente, já percebi como é que no Hotel Infinito se resolve o problema sempre que há um número finito de novos hóspedes; mas será possível arranjar espaço para um número infinito deles, isto é, tantos quantos os quartos que temos já ocupados?

Gerente: Claro! Mudamos os hóspedes de cada quarto para outro com um número duas vezes superior!

Empregada: Claro! Desse modo mudamos os hóspedes todos para os quartos com número par, o que deixa vagos todos os quartos com número impar, que são em número infinito, tantos quantos os turistas!

Nenhum conjunto finito pode ser posto em correspondência biunívoca com um dos seus subconjuntos, no entanto o mesmo não se passa quando estamos a tratar de conjuntos infinitos. De facto, podemos definir matematicamente os conjuntos infinitos como sendo precisamente aqueles que podem ser colocados em correspondência biunívoca com alguns dos seus subconjuntos.

Neste caso, o gerente do hotel começou por provar que o conjunto de todos os inteiros pode ser posto em correspondência biunívoca com um dos seus conjuntos de modo a deixar de fora 1 e depois 5 elementos. Como é óbvio, este processo pode ser modificado de maneira que sobre o número finito de elementos que desejamos.

A manobra final do gerente disponibilizou um número infinito de quartos, mostrando como o resultado de subtrair infinitos de infinitos continua a ser infinito. Colocando os números naturais em correspondência biunívoca com os números pares, continua a manter-se um conjunto infinito de números inteiros, a saber, o conjunto dos números impares.

Já foi referido que Cantor designou a cardinalidade dos inteiros por À₀, que coincide com a cardinalidade dos números pares e dos números ímpares.

Assim sendo, vamos ter que, como o conjunto dos inteiros é a reunião do conjunto dos pares com o dos ímpares, À₀+À₀=À₀!

O que está subjacente ao raciocínio do gerente do Hotel Infinito é que: À₀-À₀=À₀! Que é apenas uma das muitas estranhas propriedades que têm estes números...  

Algumas das propriedades que regem este números são, por exemplo:

Apesar destas propriedades nos parecerem pouco naturais, conduzem a uma versão consistente da aritmética para números infinitos.

Veja-se abaixo algumas das regras que regem os números infinitamente grandes (ig's) e os infinitamente pequenos (ip's):