O que é o Infinito?

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Infinito... Em que é que pensamos quando ouvimos esta palavra? Em números enormes, incalculáveis, números que nunca mais acabaríamos de contar...? Um céu imenso, sem nunca mais acabar...? Cada um de nós pensará certamente uma coisa diferente, precisamente porque o conceito do infinito não tem por base nenhuma experiência sensível.  

Nenhum assunto provocou tanta polémica e tanta discussão entre matemáticos, filósofos e teólogos como a ideia de infinito. Grande parte da matemática fundamenta-se no conceito de infinito... muito embora nada seja mais difícil de definir e a controvérsia a seu respeito pareça interminável.  

O conceito de infinito surge assim como um dos mais importantes de toda a matemática e também como um daqueles cujo significado tem sido mais discutido.  

O infinito é uma espécie de enigma matemático, de truque de magia, porque o seu conteúdo é inesgotável. Se retirarmos um elemento a um conjunto infinito restarão, não um a menos, mas exactamente o mesmo número de elementos (e o processo pode ser repetido com qualquer número de elementos, tantas vezes quantas se queira). Foram paradoxos como este que forçaram os nossos antepassados a terem cuidado com argumentos envolvendo apelos ao infinito.

Mas de que é que falamos, quando falamos de infinito?

Segundo Micheli (Romano, 1997) , o conceito de infinito desempenha um papel fundamental no interior da ciência a vários níveis:

• Ao mundo fechado da astronomia antiga e medieval, a moderna opõe um universo infinito; a este propósito se introduziu, na cosmologia contemporânea, uma mudança que consiste na tendência para fixar finito o tempo que decorreu desde o aparecimento do universo e fazer depender a solução do problema do carácter finito ou infinito do espaço da densidade da matéria.

• Para a física, o problema é ainda o do espaço e do tempo, mas também o da divisibilidade da matéria.

• Nas matemáticas, enfim, o conceito de infinito apresenta-se em particular no cálculo, diferencial e integral, e na teoria dos conjuntos.

De acordo com Ferrater Mora (1986), o conceito de infinito pode ser entendido de várias maneiras:

• O infinito é algo de indefinido, por não ter fim ou limite;

• O infinito não é definido nem indefinido, porque no que lhe diz respeito, carece de sentido toda a referência a um fim ou limite;

• O infinito é algo negativo e incompleto;

• O infinito é algo positivo e completo;

• O infinito é algo meramente potencial, que está “sendo” mas não “é”;

• O infinito é algo actual e inteiramente dado.

Ao longo da história foram vários os matemáticos e filósofos que optaram por cada uma destas concepções, sem nunca se chegar a um consenso.

Segundo Micheli (Romano, 1997), e apesar de todas as ambiguidades, existem apenas duas grandes classes de significações a atribuir ao termo:

• as positivas: que se referem à noção de número transfinito elaborada por Cantor no âmbito da teoria dos conjuntos, ou que se referem ao infinito enquanto característica necessária da perfeição absoluta;

• as negativas: aquelas que defendem o infinito como a ausência de um certo limite (note-se que a palavra grega apeiron quer dizer, precisamente “sem limite”).  

Para além das diferentes significações que podem ser atribuídas ao termo, um segundo motivo gerador de ambiguidades é a diversidade de objectos a que a noção se pode aplicar. O conceito de infinito pode aplicar-se tanto a seres matemáticos (puramente conceptuais), como ao mundo (conjunto dos entes materiais) ou até mesmo a Deus (enquanto objectificação de todos os entes possíveis).