Triângulo de Pascal

   Antes de explicarmos a construção do triângulo de Pascal, vejamos algumas propriedades das combinações.

Os números combinatórios satisfazem as seguintes propriedades:

        (i) 

        (ii) 

    (iii) 

      (iv) 

        (v)    

   As propriedades dos números combinatórios permitem-nos construir o famoso triângulo de Pascal.

Triângulo de Pascal

1. Os números combinatórios dos extremos de cada fila são da forma

                                    logo valem 1

2. Cada n combinatório do tipo tem acima de si dois números combinatórios do mesmo tipo. Por isso, cada termo do triângulo e Pascal obtém-se somando os 2 termos que tem acima de si

   Tendo em conta os resultados, podem obter-se os valores de todos os termos do tirângulo de Pascal, que são as seguintes:

Binómio de Newton

O Binómio de Newton é uma expressão que nos permite calcular o desenvolvimento de em função das potências de a e de b, sendo n um número natural qualquer. As potências sucessivas de (a+b) são

• Em cada parcela a soma dos expoentes de a e b coincide com o expoente de na expressão correspondente.

• Os Coeficientes de :1, 1.
• Os Coeficientes de :1, 2, 1.
• Os Coeficientes de :1, 3, 3, 1.
• Os Coeficientes de :1, 4, 6, 4, 1.

   Assim, os coeficientes que se obtêm coincidem com os correspondentes ao triângulo de Pascal.

   Generalizando ao caso , demonstra-se que