Nas nossas conversas e discussões do dia-a-dia usamos frequentemente expressões do tipo:

        Estas expressões, e muitas outras do mesmo género, dizem respeito aos fundamentos do nosso conhecimento. Referem-se à necessidade de os justificar. 

        Também a experiência do erro e a diversidade de explicações para os mesmos factos levantam este mesmo tipo de problema filosófico:

                    Donde tiram os nossos conhecimentos a sua validade?

                    Qual é o seu fundamento?

        A filosofia desde a sua origem que se ocupa desta questão. De facto, podemos dizer que todas as tentativas para compreender o conhecimento, o sujeito cognoscente ou o objecto cognoscível, se polarizam em torno do problema do fundamento.

                    Mas o que é um fundamento? O que é fundar?

        O termo fundamento é sinónimo de princípio, causa, razão. Se alguém perguntar pelos fundamentos de uma casa, a resposta será: os alicerces. As fundações de um edifício são as bases em que assenta e se apoia. O fundamento é assim o que dá consistência e segurança ao edifício. A estrutura e todas as partes constituintes dependem, em última análise, desses fundamentos.

        Ao nível do conhecimento passa-se o mesmo. O valor e a solidez dos nossos conhecimentos e das nossas teorias científicas dependem dos seus fundamentos. Foi o desejo de encontrar um fundamento para o nosso conhecimento que levou os primeiros filósofos gregos a perguntar pela origem de tudo quanto existe. Efectivamente, fundamentar tanto pode significar fornecer uma explicação, descobrir a origem, indicar a causa,  justificar ou dar a razão de ser.

        Atribui-se frequentemente à filosofia uma dupla função: a de fundamentar e a de sistematizar. A primeira, sublinha o carácter legitimador da filosofia - a filosofia como ciência dos fundamentos - a segunda, dá à filosofia uma função teorética ou doutrinal.

        Como seria de esperar, é no âmbito do carácter fundamentador da filosofia que se pode colocar o problema dos fundamentos da matemática. Embora eterna, a questão agudiza-se com o aparecimento das geometrias não euclideanas de Riemann e Lobatchewski. Esta crise foi a manifestação de uma discrepância entre a ideia tradicional de Matemática, a que podemos chamar "mito de Euclides", e a realidade efectiva da Matemática, ou seja, a prática real da actividade matemática numa determinada época.

        O que é o mito de Euclides? É a crença de que os livros de Euclides contêm verdades acerca do universo raras e indubitáveis. Partindo de verdades evidentes, e procedendo através de demonstrações rigorosas, Euclides teria chegado a um conhecimento certo, objectivo e eterno. Até meados ou finais do século XIX, o mito era inquestionável. Ele foi o mais importante suporte da filosofia que sonhava estabelecer um conhecimento certo e seguro acerca da natureza do universo.

        Foi justamente este mito que, com o aparecimento das geometrias não euclideanas, foi abruptamente posto em causa. A crise dos fundamentos da Matemática estava aberta e, com ela, um dos mais notáveis e criativos episódios da História e da Filosofia da Matemática.

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Actualmente, não se está mais perto de fundamentos seguros para a Matemática do que se estava um século atrás. No entanto, as controvérsias sobre os fundamentos já não têm o impacto de outrora. Conduzem a caminhos que parecem cada vez mais distantes das preocupações matemáticas dos nossos dias. Nesta conjuntura, e cada vez mais, a Filosofia da Matemática procura novas direcções de investigação.