O cálculo lógico é um pressuposto de qualquer cálculo e sem o seu auxílio nenhuma demonstração poderia ser feita. O que uma teoria axiomática faz é sobrepor-se à lógica, acrescentando algumas constantes (não lógicas) específicas e alguns axiomas (não lógicos) necessários para a dedução de novos resultados. Esses axiomas não lógicos, específicos da teoria, são dados como premissas para outras deduções. São fórmulas que não têm o carácter de "verdades lógicas" mas sim de "verdades aceites". A sua função é a de se constituírem como base para deduções de resultados que a lógica por si só não poderia permitir.

        Dizemos que uma fórmula é logicamente válida quando puder ser deduzida dos axiomas lógicos. Ao lado das fórmulas logicamente válidas, existem fórmulas designadas simplesmente como válidas. Não há método uniforme para as caracterizar. O mais comum, é seleccionar um conjunto (finito ou não) de proposições que são chamadas axiomas não lógicos e dizer que uma proposição é válida se e só se puder ser deduzida desse conjunto. Por outras palavras, a proposição f será válida se e só se puder ser deduzida dos axiomas (lógicos e não lógicos) admitidos por esta teoria.

        As teorias em que a noção de validade tiver sido introduzida dessa maneira dir-se-ão teorias axiomáticas. Quando a teoria tiver sido axiomatizada, diz-se que as proposições válidas são proposições demonstradas (ou demonstráveis).