As Três Leis de Kepler

    O movimento dos planetas, estrelas e outros corpos celestes têm sido observados desde há muito tempo. Na antiguidade pensava-se que a Terra estava no centro do Universo. Este Modelo Geocêntrico foi elaborado e formalizado pelo astrónomo grego Ptolomeu (100-170) e aceite durante 1400 anos.

Figura: Sistema ptolemaico

    Em 1543, Copérnico (1473-1543) sugeriu que a Terra e os outros planetas teriam órbitas circulares em torno do Sol: Modelo Heliocêntrico.

Figura: Sistema copernicano.

      O astrónomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) realizou medidas astronómicas durante 20 anos sendo de notar que as suas observações precisas de planetas e de 777 estrelas visíveis a olho nú foram feitas sem utilizar o telescópio, então não ainda inventado.

    As observações realizadas por Tycho Brahe tornaram-se infinitamente mais valiosas para o progresso da ciência depois de trabalhadas por Kepler. Quando Kepler se tornou sucessor de Tycho, herdou a maior e mais cuidada colecção de observações planetárias, em especial do planeta Marte, que alguma vez se tinha conseguido reunir.
    Kepler passou cerca de dezasseis anos a tentar chegar a uma dedução matemática do modelo do movimento dos planetas que justificasse as observações realizadas pelo seu mestre. A análise de Kepler mostra que a ideia de existência de órbitas circulares tinha de ser abandonada, contrariando assim a teoria defendida por  Tycho que, em carta enviada havia escrito¹:

"É necessário que as órbitas dos planetas sejam completamente descritas por movimentos circulares pois, caso contrário, eles não regressariam perpétua e uniformemente à sua órbita e a sua perpetuidade seria perturbada (...) uma mente racional iria retrair-se com horror face tal suposição [a não circularidade] (...) se o movimento circular nos céus, devido à sua disposição, por vezes aparenta produzir - para alguém que tenha a vã curiosidade de reparar em tais particularidades - diversas figuras angulares na sua maioria de forma oblonga, então isso pode ter sido por acaso." ²

    Kepler descobriu, em 1605, que a órbita de Marte só podia ser descrita por uma elipse. Citando Kuhn³: "Uma longa série de tentativas sem sucesso forçou Kepler a concluir que nenhum sistema baseado em círculos compostos resolveria o problema. Uma outra figura geométrica deveria, pensou, conter a chave. Tentou vários tipos de ovais, mas nenhum eliminou as discrepâncias entre a sua hipótese de teoria e a observação. Então, reparou que as próprias discrepâncias variavam de um forma matemática familiar e, ao investigar essa irregularidade descobriu que a teoria e a observação podiam ser conciliadas se os planetas se movessem em órbitas elípticas com velocidades variáveis."

    Kepler generalizou esta análise para todos os planetas e, em 1605, enunciou a Primeira Lei :

Lei da órbitas elípticas

Todos os planetas se movem segundo órbitas elípticas com o Sol num dos pontos focais.

      No entanto, em 1602, quando tentava calcular a posição da Terra na sua órbita, Kepler havia já definido aquela que viria a ser a sua Segunda Lei

Lei da áreas

À medida que o planeta descreve a sua órbita, o seu vector posicional relativamente ao Sol percorre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Uma demonstração desta Lei é apresentada por Serway⁴:

Considere-se um planeta de massa M_p que se move em torno do Sol em órbita elíptica:

Figura: A força gravitacional que actua num planeta dirige-se para o Sol, ao longo do vector direccional.

    A força gravitacional actua no planeta sempre ao longo do vector posicional, com direcção para o Sol. A força dirigida para dentro ou para fora de um ponto fixo é chamada de força central (que é apenas função do raio). O momento da força que actua no planeta devido a esta força central é obviamente zero, desde que F seja paralelo a r. Ou seja,

    Como e  , o momento angular de um planeta é 

uma constante do movimento:

constante

    Dado que L é uma constante do movimento, o movimento dos planetas em qualquer instante é restringido ao plano formado por r e v.
    Pode-se relacionar este resultado com as seguintes considerações geométricas. O vector posicional r na figura seguinte descreve uma área no intervalo de tempo . Esta área é igual a metade da área de um paralelogramo formado pelos vectores r e .

Figura: Como um planeta orbita em torno do Sol, a área descrita pelo vector direccional no tempo dt é igual a metade da área do paralelogramo formada pelos vectores r e dr = v dt.

Como o deslocamento do planeta no intervalo de tempo é , obtém-se:

constante

em que L e Mp são constantes do movimento. Assim, o vector posicional do Sol ao planeta descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais (Segunda Lei de Kepler).

  A primeira e a segunda leis de Kepler, embora descobertas em 1605 e 1602, respectivamente, apenas foram publicadas em 1609 na obra intitulada "Astronomia Nova".

  
   A Terceira Lei estabelece uma relação entre os tempos periódicos em que os planetas completam as suas órbitas em torno do Sol e as suas distâncias médias ao Sol.
Kepler começou por tentar estabelecer uma relação entre D (distância do planeta ao Sol) e T (período sideral do planeta), e depois entre D e T2 não tendo conseguido chegar a nenhuma conclusão satisfatória. O mesmo aconteceu quando considerou T2 e D2. Mas quando tentou relacionar T2 e D3 a situação mudou , tal como se pode observar pela tabela seguinte:

    E assim formulou a sua Terceira Lei:

Lei Harmónica

Os quadrados dos tempos de revolução de quaisquer dois planetas em torno do Sol (incluindo a Terra) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias ao Sol.

    Esta lei estabelece que os planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol. O que implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol.
    Sendo T o período sideral do planeta, D o semi-eixo maior da órbita que é igual à distância média do planeta ao Sol, e K uma constante, podemos expressar a 3ª lei como:

    Esta lei significa que é impossível que, em qualquer sistema de satélites, estes se movam a qualquer velocidade ou a qualquer distância, dado que uma vez escolhida a distância a velocidade está necessariamente determinada.
    É lei é conhecida por Lei Harmónica uma vez que, quando Kepler a descobriu, pensou que demostrava a verdadeira harmonia celeste. Foi publicada em 1619 em "Harmonices Mundi", tendo exercido um influência decisiva na formação da teoria da atracção universal de Newton.

    Serway ⁵ apresenta a seguionte demonstração da Terceira Lei de Kepler:

      Considere-se um planeta de massa Mp que se move em torno do Sol, de massa MS, numa órbita circular, tal como mostra a figura seguinte:

Figura - Um planeta de massa Mp move-se segundo um órbita circular em torno do Sol. A órbita de todos os planetas, com a excepção de Marte, Mercúrio e Plutão são aproximadamente circulares.

    Dado que a força gravitacional exercida no planeta pelo Sol é igual à força central necessária para fazer com que o planeta se mova circularmente, tem-se:

    Como a velocidade orbital do planeta é dada por  ,

 em que T é o período, a expressão anterior fica:

    Simplificando, chega-se então à expressão final:

    Equação 1

onde K_S é uma constante dada por:

    A equação 1 representa a Terceira Lei de Kepler. A lei também é válida para órbitas elípticas substituindo r pelo comprimento do semi eixo-maior da elipse, a .

Figura: Esquema de uma elipse. O semi-eixo maior tem um comprimento a, e o semi-eixo menor tem um comprimento b. Os pontos focais estão a uma distância c do centro, com a² = b²+c², e a excentricidade é definida por e = c/a

   Note-se que a constante de proporcionalidade K_s, é independente da massa do planeta. Deste modo, esta equação é válida para qualquer planeta. Se se considerar a órbita de um satélite em torno da Terra, como a Lua, então a constante terá um outro valor, substituindo a massa do Sol pela massa da Terra. Neste caso, a constante de proporcionalidade será .

Referências:

¹ Kozhamthadam, J. (1994); "The discovery ok Keples's laws: the interaction of science, philosophy and religion"; University of Notre Dame Press; Notre Dame; London , p. 202
² Tradução das autoras.
³ Kuhn, T. (1957); "A revolução copernicana - A astronomia planetária no desenvolvimento do pensamento ocidental"; Edições 70; Lisboa, p.244
⁴ Serway, R.; (1996); "Physics for Scientists and Engineers"; 4ª Edição; USA: Saunders Golden Sunburst Series, p. 399
⁵ Serway, R.; (1996); "Physics for Scientists and Engineers"; 4ª Edição; USA: Saunders Golden Sunburst Series, p. 398