Explicação matemática do problema colocado ao escravo
Para além do enorme interesse filosófico desta demonstração, a resolução do problema proposto por Sócrates ao escravo – como construir um quadrado de área dupla de um outro dado, com dois pés de comprimento – é merecedora de atenção do ponto de vista da matemática que nela está implícita dando-nos uma ideia do desenvolvimento das matemáticas Gregas nos finais do século V a.C.
Fazendo perguntas precisas e traçando diante dele figuras na areia,
Sócrates leva o escravo de Ménone a descobrir uma proposição da geometria. O escravo,
que nunca tinha aprendido Matemática, começa por responder erradamente. No
entanto, com o prosseguimento do diálogo, acaba por dar respostas correctas. Facto que
Sócrates interpreta como prova evidente de que o escravo possui conhecimentos
matemáticos sem o saber.
Estamos pois na presença, não de uma, mas de duas demonstrações simultâneas:
Por um lado, Sócrates demonstra a Ménone que os homens têm em si conhecimentos que desconhecem. Para que esta demonstração atinja os seus propósitos, requer-se que o interlocutor de Sócrates saiba Grego mas que não tenha (ou pense não ter) conhecimentos de geometria.
Por outro lado, Sócrates leva o escravo a descobrir a demonstração da duplicação da área do quadrado
Acompanhemos o genial seguimento de todo este processo
Sócrates – Diz-me, rapaz, sabes que isto é um quadrado?
Sócrates desenha certamente no chão um quadrado simples |
Escravo – Sim.
Sócrates – “Se este lado medisse dois pés, e este outro também dois pés, quantos pés mediria o todo?”,
Escravo
– “Quatro,
Sócrates.”
O escravo vê o
raciocínio de Sócrates exemplificado pelo esquema e limita-se a realizar operações
simples: reconhecer segmentos iguais e calcular 2´2. |
Sócrates - Não se poderia fazer um espaço
duplo deste, mas semelhante, tendo, as suas linhas iguais?
Escravo - Sim.
Sócrates - Quantos pés
mediria?
Escravo - Oito.
Sócrates
- Vamos, trata de me dizer, qual será a
grandeza de cada linha do novo quadrado: as deste são de dois pés; as do quadrado duplo,
de quantos serão?
É notória a intenção de Sócrates: ele pretende que, apenas através de
questões, seja o próprio escravo a aperceber-se do seu erro.
Escravo - É evidente, Sócrates, que terão o dobro.
Primeira resposta (errada) do escravo ao problema:
 |
Primeiro erro do escravo ao afirmar
que o quadrado duplo poderia ser construído duplicando o comprimento do lado do primeiro
quadrado. A área do novo quadrado seria então de 8 pés. Para o escravo, construir
um quadrado duplo de um quadrado dado consistiria apenas na duplicação do lado. Área = 4× 4 = 16 pés (e não 8!) |
O diálogo com o escravo é interrompido. Sócrates reforça junto de Ménone a ideia de que nada ensina ao escravo, apenas o interroga. De regresso ao diálogo e apenas através do interrogatório, Sócrates consegue que o escravo se aperceba da sua ignorância.
Sócrates - Então, o espaço de oito pés construir-se-á sobre esta nova linha, traçando quatro linhas semelhantes?
@
Escravo - Sim.
Sócrates - Tracemos, então, quatro linhas semelhantes a esta. Chamas a isto um espaço de oito pés?
Escravo - Sim.
?
Sócrates
- Mas este novo quadrado não compreende
outros quatro, cada um dos quais é igual ao primeiro, que mede quatro pés?
Escravo - Sim.
Sócrates - Então qual é a grandeza dele? Não é quatro vezes maior?
Esta figura tem
Escravo - Sem dúvida.
Sócrates - Mas o que é
quatro vezes maior, é duplo?
Escravo - Não, por Zeus!
O escravo começa a duvidar do que pensava conhecer
Sócrates - Então que é?
Escravo - Quádruplo.
Sócrates - Portanto, meu rapaz, com a linha dupla não se forma um espaço duplo, mas sim quádruplo.
Quadrado menor |
Quadrado com o quádruplo da área do quadrado menor! |
Escravo - É verdade.
Sócrates - Quatro vezes
quatro, não são dezasseis?
Escravo - Sim.
Sócrates recoloca
o problema ao escravo, perguntando-lhe agora se o quadrado duplo não terá de lado
um valor entre dois e quatro pés:
Sócrates - Não se formará,
então com uma linha maior do que esta e mais pequena do aquela? Que te parece?
Escravo
- Parece-me que sim.
Sócrates - É necessário,
portanto, que a linha do espaço de oito pés seja mais comprida que a de dois pés e mais
curta que a de quatro.
Escravo - Sim, é necessário.
Sócrates - Vê se me podes dizer
qual a sua extensão.
Escravo - Três pés.
Segunda resposta (errada) do escravo ao
problema:
Três pés
O escravo é levado a concluir que o lado do quadrado desejado, afinal, tem 3 pés de comprimento |
Sócrates - Para esta linha medir
três pés, teremos que lhe acrescentar metade do
seu comprimento: quer dizer, um pé aos dois pés. Agora, a este outro lado, juntemos
também mais um, aos dois pés. Formamos assim o espaço de que falas.
Escravo - Sim.
Sócrates - Mas se o espaço tem
três pés por este lado e três por aquele não será de três vezes três pés?
Escravo - Assim parece.
Sócrates - E três vezes três
pés quantos são?
Escravo - Nove pés.
Sócrates
faz o escravo ver que a sua resposta daria um quadrado de 9 pés no total
Sócrates - Mas quantos pés
deveria ter a superfície, para ser dupla da primeira?
Escravo - Oito.
Sócrates - Então o espaço de
oito pés também se não forma com a linha de três pés?
Escravo – É verdade que não.
O
escravo reconhece, mais uma vez, o seu erro.
O escravo é, então, de novo “convidado” a tentar encontrar a solução para o comprimento do lado do quadrado desejado.
Sócrates – Então com que
linha se forma? Trata de no-lo dizer ao certo; e, se não queres exprimi-la em números,
indica-a na figura.
Escravo – Por Zeus! Sócrates não sei!
Reconhecimento da ignorância por parte do escravo
Segue-se a última interpelação de Sócrates ao escravo:
Sócrates - Observa agora o que,
partindo da dúvida, descobrirá comigo, sem eu lhe ensinar nada, pois tenciono apenas
interrogá-lo. Vê se consegues surpreender-me a ensinar-lhe ou a explicar-lhe alguma
coisa, em vez de me limitar a pedir a sua opinião. (Ao escravo): Tu, diz-me: este espaço
não é de quatro pés? Compreendes?
Sócrates tenta fazer ver ao escravo que o quadrado maior tem quatro vezes a área do inicial, por estarem dentro do maior 4 mais pequenos.
Área = 4 pés
Sócrates- Tu, diz-me: este
espaço não é de quatro pés? Compreendes?
Escravo- Sim.
Sócrates - Poderemos juntar-lhe mais este, que lhe é igual?
Escravo - Porque não?
Sócrates - E um terceiro,
idêntico aos outros dois?
Escravo – Sim.
Sócrates – Não podemos
completar a figura colocando este outro espaço naquele ângulo?
Escravo - Sem dúvida.
Sócrates - Não teremos assim
quatro espaços iguais?
Escravo - Sim.
Sócrates - E todos juntos,
quantas vezes são maiores do que este só?
Escravo - Quatro vezes.
Sócrates - Mas nós queríamos
apenas um espaço duplo, lembras-te?
Escravo- Efectivamente.
Sócrates - Estas linhas que vão
de um ângulo a outro (diagonalmente) não dividem em dois cada um destes espaços?
Escravo - Sim.
?
Sócrates - Não obtemos quatro
linhas iguais que limitam um novo espaço?
Escravo - Assim é.
Sócrates- Repara bem. Qual será
a grandeza deste espaço?
Escravo - Não sei.
Sócrates - Estas linhas (diagonais) não dividem ao meio cada um dos quatro espaços? Sim, ou não?
De facto, cada diagonal divide o quadrado em dois triângulos iguais.
Temos quatro triângulos, cada um com área metade da do quadrado menor, que tinha 4 pés. Então, cada triângulo tem 2 pés de área. |
Escravo - Quatro.
Sócrates - E neste aqui, quantos
há?
Escravo - Dois.
Sócrates - Que vem a ser quatro,
em relação a dois?
Escravo - 0 dobro.
Sócrates - Então, quantos pés
mede este espaço?
Escravo - Oito pés.
Sócrates - E sobre que linha se
construiu?
Escravo - Sobre esta.
Sócrates - A linha que vai de um ângulo a outro, no espaço de quatro pés?
Escravo - Sim.
Resposta
final (correcta) do escravo ao problema:
É este, de facto, o lado |
Sócrates - Pois a esta linha os
sofistas chamam diâmetro. Se tal é o seu nome, o espaço duplo forma-se, como dizes,
escravo de Ménone, sobre o diâmetro.
Escravo – É verdade,
Sócrates.”
Finalmente a
solução é atingida com a construção do quadrado de área dupla a partir do desenho
das diagonais dos quatro quadrados contidos no de área quádrupla. Traçadas as quatro
linhas, o problema fica resolvido, sem que o escravo tenha de realizar operações
complicadas.
Hoje sabemos que o lado do quadrado duplo do inicial media, precisamente, Ö 8. A solução atingir-se-ia facilmente utilizando equações do 2º grau |
2 pés
Para sabermos com exactidão o comprimento do lado, também podemos utilizar o teorema de Pitágoras. Como 22 + 22 = L2. |
Segundo Sócrates, o escravo precisava errar e reconhecer esse erro para encontrar o caminho da verdade através da recordação. Sócrates tem a preocupação de, ao longo de toda a demonstração, fazer ver a Ménone que nada ensina ao escravo, mas que apenas o interroga.
É certo que a questão da anamnese é delicada. Mas os argumentos a seu favor têm inegável consistência.
“Teremos que reconhecer que, mesmo que alguém tenha ensinado o escravo de Ménone, ninguém ensinou Pitágoras”