Postulado
das Paralelas
Embora o enunciado do quinto postulado não fale directamente em linhas paralelas, ele é também conhecido por Postulado das Paralelas.
Nos Elementos, as linhas rectas paralelas são definidas como linhas rectas que estão no mesmo plano e, se prolongadas indefinidamente em ambas as direcções, não se encontram em nenhuma delas. Transpondo para linguagem corrente, pode-se considerar que a definição diz que rectas paralelas são rectas definidas no mesmo plano que não se intersectam.
No âmbito da geometria euclidiana, é impossível demonstrar a 29ª proposição sem o quinto postulado:
Proposição 29 - uma linha recta que corta duas linhas rectas paralelas faz os ângulos alternos iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos rectos.
A demonstração desta proposição é talvez a primeira relação do postulado com o paralelismo (até porque a 29ª proposição é a primeira em cuja demonstração é utilizado este postulado). Foi por aqui que enveredaram alguns dos matemáticos que tentaram demonstrar o quinto postulado (como Ptolomeu). Contudo, ao provarem correctamente esta proposição tinham de necessariamente utilizar um postulado equivalente ao quinto.
Esta dificuldade em demonstrar a 29ª proposição sem o quinto postulado foi incorrectamente ultrapassada, com a utilização de uma definição especial de paralelismo. Para Possidónio (século I a.C), “linhas paralelas são linhas num único plano que não convergem nem divergem, mas têm todas as perpendiculares, desenhadas dos pontos de uma para os da outra, iguais” (Proclus, séc. V, 176.5-176.11). Isto é, duas rectas são paralelas se forem equidistantes, ou seja, se a distância medida numa qualquer perpendicular de uma delas, for sempre igual, independentemente da perpendicular escolhida.
À primeira vista, muitos dirão que esta nova definição nada tem de errado e que, de facto, duas rectas não se intersectam se e só se estiverem sempre à mesma distância. Contudo, se não for suposto o quinto postulado, isso não se verificará, ou seja, será possível haver rectas que não se intersectam mas que não são equidistantes. Para infortúnio dos que recorreram a esta definição, ou a uma similar, para demonstrar o quinto postulado, afirmar que rectas paralelas são equidistantes é equivalente a afirmar o próprio quinto postulado de Euclides.
Apesar de acreditar na demonstrabilidade do quinto postulado, Proclus percebe que a definição de paralelismo de Possidónio não é correcta e refere a existência de linhas que se aproximam cada vez mais mas não se chegam a intersectar, como o caso da hipérbole e da conchoide com as suas assimptotas.
Ao longo da história, vários matemáticos voltaram a insistir em definições de paralelismo deste tipo e, com base nesse erro, foram propostas várias demonstrações do quinto postulado.
A designação de Postulado das Paralelas torna-se mais intuitiva se considerarmos o axioma de Playfair, equivalente ao quinto postulado de Euclides: dada uma recta e um ponto exterior, existe uma e uma só recta contendo o ponto e paralela à recta dada.
O axioma de Playfair foi proposto em 1796 por John Playfair e, desde então, substitui geralmente o quinto postulado de Euclides na construção axiomática da geometria euclidiana. Por essa razão, o axioma de Playfair é mais conhecido do que propriamente o quinto postulado dos Elementos de Euclides.