O Disco de Poincaré

Um pouco de História

A Geometria Hiperbólica, que satisfaz todos os axiomas da Geometria Euclideana à excepção do Axioma das Paralelas, nasceu no século XIX, fruto dos trabalhos dos matemáticos János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky, depois de muitos antes deles terem sem sucesso procurado deduzir o Axioma das Paralelas a partir dos restantes. O termo Geometria Hiperbólica foi cunhado, ainda no século XIX, pelo matemático Felix Klein. O modelo de Geometria Hiperbólica aqui apresentado, embora remonte aos trabalhos de Bernhard Riemman e Eugenio Beltrami, é habitualmente referido como o Disco de Poincaré, pelas importantes contribuições de Henri Poincaré na Geometria Hiperbólica.

Descrição do Modelo

Fixe-se um disco no plano Euclideano \(\mathscr{E}\), i.e., o interior de uma circunferência \(\mathscr{C}\) de centro \(O\), a que se chama o plano Hiperbólico \(\mathscr{H}\).

• Cada ponto \(P\in\mathscr{H}\) diz-se um «ponto» do plano Hiperbólico.
• Chama-se «recta» do plano Hiperbólico à intersecção com \(\mathscr{H}\) duma recta Euclideana que passe pelo centro \(O\), ou duma circunferência Euclideana ortogonal a \(\mathscr{C}\).
• A «distância» entre dois «pontos» \(P,Q\in\mathscr{H}\) define-se pela fórmula \[d(P,Q)=\left\vert \log\left( \frac{\vert PA\vert }{ \vert PB\vert }\cdot \frac{ \vert QB\vert }{ \vert QA\vert} \right)\right\vert \;, \] onde \(A\) e \(B\) são as extremidades em \(\mathscr{C}\) da única «recta» do plano Hiperbólico por \(P\) e \(Q\).
• O «ângulo» entre duas «semirectas» com a mesma origem \(P\in\mathscr{H}\) define-se como sendo o ângulo Euclideano que os respectivos vectores tangentes a estas «semirectas» fazem no «ponto» \(P\in\mathscr{H}\).

Com estas definições, o modelo de Poincaré \(\mathscr{H}\) satisfaz todos os axiomas da Geometria Euclideana menos o Axioma das Paralelas.

Descrição da Aplicação

Na aplicação em baixo o disco de Poincaré vem figurado por uma ilustração do artista holandês M. C. Escher, que representa uma pavimentação do plano Hiperbólico (disco de Poincaré) em figuras congruentes, «diabos» e «anjos».

Ferramentas «hiperbólicas» disponíveis

(Ponto, Ponto)   traça a «recta» hiperbólica por dois «pontos»

(Ponto, Ponto)   traça o segmento de «recta» hiperbólico por dois «pontos»

(Ponto, Ponto)   traça a «semirecta» hiperbólica entre dois «pontos»

(Ponto, Ponto)   traça o vector tangente à «semirecta» hiperbólica definida por dois «pontos»

(Ponto, Vector)   traça a «semirecta» hiperbólica definida por um «ponto» e um vector

(Ponto, Arco)   traça a «recta» hiperbólica por um «ponto» dado, perpendicular a uma «recta» dada

(Ponto, Ponto)   traça a mediatriz hiperbólica de um segmento definido por dois «pontos»

(Ponto, Ponto)   traça o «ponto médio» hiperbólico de um segmento definido por dois «pontos»

(Ponto, Ponto)   traça a «circunferência» hiperbólica com centro dado, passando por um «ponto» dado

(Ponto, Número)   traça a «circunferência» hiperbólica com centro e raio dados

(Ponto, Ponto, Ponto)   mede um «ângulo» hiperbólico definido por três «pontos» dados

(Ponto, Ponto)   mede a «distância» hiperbólica entre dois «pontos» dados

(Ponto, Arco)   marca a imagem dum «ponto» dado pela reflexão em torno duma «recta» dada

(Ponto, Ponto, Ponto)   marca a imagem do primeiro «ponto» dado pela translação que leva o segundo no terceiro «pontos» dados

Pontos Hiperbólicos vs Pontos Euclideanos

Para criar «pontos» hiperbólicos, i.e., condicionados a moverem-se no disco de Poincaré, pressione o botão «Colar ao Disco» e use a ferramenta «Ponto no Objecto» clicando no interior do disco. Depois de criados todos os pontos desejados, selecione a ferramenta «Mover» e torne a pressionar o botão «Colar ao Disco».

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