| Exemplo |
Objecto Diferenciável |
Invariante Topológico |
Relação
establecida |
Estrutura Diferenciável do Objecto |
| Teoria de Morse |
Função $f\colon X\to\mathbb{R}$
numa variedade $X$ |
$\beta_i = \beta_i(X,\mathbb{K})=$
nº de Betti
$\chi(X) = $ caract. Euler
|
$\beta_i \geq C_i(f)$
$\chi = \sum_{i=0}^{\dim X} (-1)^i C_i(f) $
|
$C_i(f) =$
número de pontos críticos de f com índice i |
| Teorema de Poincaré-Hopf |
Campo vectorial $\xi$ numa variedade $X$ |
$\chi(X) = $ caract. Euler |
$\chi =\sum_{\xi(x)=0} {\rm Ind}_x(\xi) $
|
${\rm Ind}_x(\xi) =$
índice do campo vectorial $\xi$
na singularidade $x$ |
| Definição geométrica de grau |
Mapa $f\colon X\to Y$
entre variedades
sem bordo com a mesma dimensão |
$d = {\rm deg}(f) =$
grau de $f$
(definição topológica) |
$ d= \sum_{x\in f^{-1}(y)} {\rm sgn}(\det D f_x) $
|
Contagem do número de pré-imagens do valor regular
$y$ do mapa $f$ |
| Teorema de Gauss-Bonnet |
Superfície compacta
sem bordo $X\subset \mathbb{R}^3$ |
$\chi(X) = $ caract. Euler |
$2\pi\chi = \int_X K $ |
$K$ curvatura total de $X$ |