Propriedades Globais do Grau

Sejam $X$ e $Y$ variedades compactas orientadas sem bordo com $\dim(X)=\dim(Y)$.
Seja $f\colon X\to Y$ uma aplicação diferenciável.

Teorema de Sard
O conjunto $C_f$ dos valores críticos de $f$ tem medida nula, $\; {\rm Area}(C_f)= 0$.

Proposição
Para cada componente conexa $V$ de $Y\setminus C_f$ o conjunto $f^{-1}(V)$ é a união disjunta de:

1. $n\geq 0$ componentes conexas $W_i$ de $X\setminus f^{-1}(C_f)$ tais que $f\vert_{W_i}\colon W_i\to V$ é um difeomorfismo que inverte a orientação,
2. com $n + {\rm deg}(f)$ componentes conexas $U_i$ de $ X\setminus f^{-1} C_f)$ tais que $f\vert_{U_i}\colon U_i\to V$ é um difeomorfismo que preserva a orientação.

Proposição
$$ \int_X \det( D f_X ) \, dx = {\rm deg}(f)\, {\rm Area}(Y) . $$