Tradução
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Comentários
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"Há quem pense, Rei
Gelão, que o número de grãos
de areia é infinito. E quando menciono areia refiro-me não
só aquela que existe em Siracusa e no resto da Sicilia mas também àquela que
se encontra nas outras regiões, sejam elas habitadas ou desabitadas.
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![](images/clitar10.jpg)
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Mais uma vez, há
quem, sem considerá-lo infinito, pense que nenhum número foi ainda nomeado que
seja suficientemente grande para exceder a sua multiplicidade. E é claro que
aqueles que têm esta opinião, se imaginassem uma massa de areia tão
grande como a massa da terra, incluindo nesta todos os mares e depressões da
terra preenchidas até uma altura igual à mais alta das montanhas, estariam muito
longe ainda de reconhecer que qualquer número poderia ser expresso de tal forma
que excedesse a multiplicidade da areia aí existente.
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Mas eu tentarei
mostrar-vos, através de provas geométricas que conseguireis acompanhar que,
dos números nomeados por mim e que constam no trabalho que enviei a Zeuxipo,
alguns excedem, não só o número da massa de areia igual em magnitude à da
terra preenchida da maneira que atrás referi, mas também da massa igual em
magnitude à do universo.
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Trata-se
de um trabalho perdido intitulado Princípios.
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Ora, vos estais por certo conscientes
de que 'universo' é o nome
dado por muitos astrónomos à esfera cujo centro é o centro da terra e cujo
raio é igual à linha recta entre o centro do sol e o centro da terra. Esta é
a definição comum, como tendes ouvido dos astrónomos.
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Arquimedes vai socorrer-se desta definição de 'universo',
para poder demonstrar a sua ideia.
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Mas Aristarco de Samos escreveu um livro
no qual as premissas
levam ao resultado de que o universo é muitas vezes maior do que aquele que é
agora considerado. A hipótese dele é que as estrelas fixas e o sol
permanecem imóveis, que a terra gira em torno do sol na forma de uma
circunferência, que o sol permanece no centro da órbita e
que a esfera das estrelas fixas, situada relativamente perto do centro do sol,
é tão grande que o círculo em que ele supõe que a terra gira
suporta uma
proporção, relativamente à distância das estrelas fixas tal como o centro da
esfera suporta relativamente à sua superfície.
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Esta é a célebre passagem em que Arquimedes se refere ao
conteúdo do não menos célebre "Tratado do Mundo" de
Aristarco de Samos, nomeadamente à hipótese heliocêntrica aí
defendida.
Para um comentário
suplementar![](images/handr.gif)
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É fácil de ver que isto
é impossível; pois dado que o centro da esfera não tem dimensão, não o podemos conceber para suportar qualquer proporção relativamente à
superfície da esfera. Temos contudo de aceitar que Aristarco assim pense pela
nossa parte, porque consideramos a terra como se fosse o centro do universo, a
proporção que a terra suporta relativamente àquilo que descrevemos como sendo o 'universo' é igual
à proporção da esfera contendo o círculo em que ele supõe que a terra gira
comparativamente à esfera das estrelas fixas. Pois ele faz uma adaptação dos seus resultados
às demonstrações tendo em conta hipóteses deste tipo, e em
particular parece que ele supõe que a magnitude da esfera que representa a
terra em movimento é igual à magnitude daquilo a que chamamos o 'universo'.
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Arquimedes
avaliou a proporção da circunferência para o diâmetro de um círculo
através de um processo iterativo extraordinário: "Começando com o
hexágono regular inscrito, calculou os perímetros de polígonos
obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a noventa e
seis lados." (cf. Boyer, 1986:86). Para achar o perímetro do hexágono circunscrito era
necessário extrair raízes quadradas, o que Arquimedes fez usando um método
semelhante ao dos Babilónios. Observe-se ainda que ele
conseguiu fazer uma aproximação do número P, (essencial para o cálculo da área do círculo), superior
às que
foram feitas pelos Egípcios e Babilónios.
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Então eu digo que, mesmo que uma esfera, constituída por uma tão elevada quantidade de
areia, como sendo comparativa à da esfera das estrelas fixas,como supõe
Aristarco, eu continuarei a
demonstrar que, dos números mencionados nos "Princípios", alguns excedem em
multiplicidade o número da areia igual em magnitude à esfera atrás
referida, desde que as seguintes suposições sejam feitas.
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Para a sua demonstração, Arquimedes necessita de
determinar o tamanho do universo. Deste modo, tem de
partir de determinados pressupostos relativamente às distâncias e às
dimensões do sol e da terra e à relação entre estas e o
tamanho do 'universo'. Baseia-se para tal em estimativas de números
retirados de os "Princípios".
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1.
O perímetro da terra é de cerca de 3.000.000 estádios e não é maior que este número.
É verdade que, como certamente sabeis, alguns já tentaram demonstrar
que o tal perímetro é de cerca de 300.000 estádios. Mas eu vou mais longe e,
considerando a magnitude da terra dez vezes o tamanho que os meus antecessores
pensaram, suponho que o seu perímetro é de cerca de 3.000.000 estádios e não
é mais.
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Um
estádio equivale, aproximadamente, a um
décimo de milha
Note-se
que Arquimedes sobrestimou o perímetro em causa para que a sua prova
fosse o mais convincente possível.
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2.
O diâmetro da terra é maior do que o
diâmetro da lua, e o diâmetro do sol é maior do que o diâmetro da terra.
Com esta suposição eu sou da opinião dos
primeiros astrónomos.
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3.
O diâmetro do sol é cerca de 30 vezes o
diâmetro da lua e não é maior.
É verdade que, entre os primeiros
astrónomos, Eudoxus (408-355 B.C.) declarou ser o diâmetro do sol cerca de nove vezes maior do que o da lua, e Pheidias (500-432 B.C.)
doze vezes
maior, enquanto que
Aristarco tentou provar que o diâmetro do sol é maior do que 18 vezes, mas menor do que 20 vezes o da lua. Mas eu vou mais além
de Aristarco para que a veracidade da minha
proposição possa ser estabelecida para além de todas as disputas, e eu suponho que o
diâmetro do sol é cerca de 30 vezes o da lua e não é maior.
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Arquimedes
faz sempre uma estimativa por excesso relativamente às
medidas que obtém através da análise cuidada de trabalhos de
astrónomos de então (incluindo o de seu pai). O seu objectivo é que a sua demonstração
seja o mais convincente possível.
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4.
O diâmetro do sol é maior do que o lado do polígono regular com 1000 lados inscrito no maior
círculo (na esfera) do universo.
Faço esta suposição¹ porque
Aristarco descobriu que o sol pareceu ser cerca
de
-ésima parte do círculo do zodíaco, e eu próprio, por um
método que em seguida vou descrever, tentei descobrir experimentalmente o ângulo
subtendente pelo sol e tendo o seu vértice no olho."
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Arquimedes está a comparar o diâmetro do sol com a
circunferência descrita pelo seu centro (cf. Thomas
Heath, 1921:83). Por outras palavras, e
segundo Boyer,
Arquimedes vai assumir que o tamanho aparente do sol é superior a uma
milésima parte do círculo, uma estimativa brilhante (cf. Boyer,1986:86).
Arquimedes vai de
facto provar que a esfera concebida por Arquimedes não
poderá conter mais do que mil vezes o diâmetro do sol. Para ver essa demonstração
¹
Isto
não é, rigorosamente falando, uma suposição, mas sim, uma proposição mais tarde
demonstrada através de uma experiência que será explicada (nota do editor).
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Suposição5.
Suponha-se uma dada quantidade de areia não maior do que uma semente de
papoila, e suponha-se que não contém mais do que 10.000 grãos.
Suponha-se de seguida que o diâmetro da semente de papoila não é menor do que
40 avos da largura de um dedo.
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Arquimedes tem agora que avaliar o tamanho de um grão de areia para poder concluir quantos destes vão ser necessários para preencher
o 'universo'.
![](images/clitar3.jpg)
Vai
fazê-lo recorrendo a uma semente de papoila, estimando a quantidade de
grãos de areia que esta poderá conter, bem como o diâmetro
desta em 'largura de dedo' (unidade de medida tomada por Arquimedes).
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É nesta altura que Arquimedes se depara com a necessidade de criar um
sistema de notação que lhe permita escrever números de grande dimensão, uma
vez que, na altura, o sistema numérico grego (alfabético) não permitia
tal representação.
Para ver esse sistema
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Aplicação
ao número da areia
Pela
suposição 5,
(diâmetro
da semente de papoila) não é <
(largura de um
dedo);
e,
como uma esfera está para a outra com razão tripla dos seus diâmetros,
segue-se que
(esfera
de diâmetro da largura de um dedo) |
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grãos de areia |
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não é > 64.000 sementes de papoila |
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não é > 64.000 x 10.000 |
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não é > 640.000.000 |
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não é > 6 unidades da segunda ordem + 40.000.000 unidades de
primeira ordem |
(a fortiori)
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< 10 unidades de segunda ordem de números |
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Baseando-se na suposição que fez, e partindo
dos factos:
-
uma semente de papoila não contém mais do que 10 mil
grãos de areia,
-
o diâmetro da semente de papoila não é
superior a 40 avos da largura de um dedo
-
um estádio é menor do
que 10 mil 'largura de um dedo'
Arquimedesdeduz que o número de grãos
pretendido é menor, do que, , escrito na nossa notação (cf.
Boyer, 1986:86).
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Acrescentamos
agoragradualmente o diâmetro da esfera em questão,
multiplicando-o por 100 de cada vez. Assim, lembrando que a esfera irá ser
multiplicada por 100³
ou 1.000.000, o número de grãos de areia que estaria contido numa esfera com
cada diâmetro sucessivo pode ser determinado como a seguir se segue.
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Nesta passagem da carta, Arquimedes vai
progressivamente aumentando o diâmetro da semente de cem em cem vezes,
ampliando assim a sua dimensão, em cada passo, 1 milhão de vezes.
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Diâmetro da esfera |
N.º correspondente de grãos de areia |
(1) 100 vezes a largura de um dedo |
< 1.000.000 x 10 unidades de segunda ordem |
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< (7º termo da
série) x (10º termo da série) |
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< 16º termo da série |
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< 10.000.000 unidades de segunda ordem. |
(2) 10.000 vezes a largura de um dedo |
< 1.000.000 x (último
número) |
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< (7º termo da
série) x (16º termo) |
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< 22º termo da série |
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< 100.000 unidades de terceira ordem. |
(3) 1 estádio (< 10.000 vezes a largura de um
dedo) |
< 100.000 unidades de terceira ordem. |
(4) 100 estádios |
< 1.000.000 x (último
número) |
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< (7º termo da
série) x (22º termo) |
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< 28º termo da série |
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< 1.000 unidades de quarta ordem. |
(5) 10.000 estádios |
< 1.000.000 x (último
número) |
|
< (7º termo da
série) x (28º termo) |
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< 34º termo da série |
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< 10 unidades de quinta ordem. |
(6) 1.000.000 estádios |
< (7º termo da
série) x (34º termo) |
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< 40º termo |
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< 10.000.000 unidades de quinta
ordem. |
(7) 100.000.000 estádios |
< (7º termo da
série) x (40º termo) |
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< 100.000 unidades de sexta ordem. |
(8) 10.000.000.000 estádios |
< (7º termo da
série) x (46º termo) |
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< 52º termo da série |
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< 1.000 unidades de sétima ordem. |
Mas,
pelo teorema,
(diâmetro
do 'universo') < 10.000.000.000 estádios
Assim
o número de grãos de areia contidos numa esfera do tamanho do nosso 'universo'
é menor do que 1.000 unidades da sétima ordem dos números
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O diâmetro da
semente foi
sucessivamente ampliado na unidade 'largura de um dedo' e convertido na
unidade estádio. Arquimedes concluiu, que o número de grãos de areia
contidos na esfera de diâmetro 10 mil milhões estádio é menor do que
'mil unidades da sétima ordem' ( do referencial concebido por ele) o
que equivale a
no sistema decimal.
16º termo da série, ou seja,![](images/versao19.gif)
22º termo da série,
ou seja, ![](images/versao21.gif)
28º termo da série,
ou seja,![](images/versao23.gif)
34º termo da série,
ou seja, ![](images/versao24.gif)
40º
termo,
ou seja,![](images/versao25.gif)
46º termo,
ou seja, ![](images/versao26.gif)
52º termo da série,
ou seja,![](images/versao27.gif)
1.000 unidades da sétima ordem dos números,
ou seja, .
Para ver o teorema
![](images/handr.gif)
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Disto
podemos provar ainda que uma esfera do tamanho atribuído por Aristarcos como
sendo a esfera das estrelas fixas conteria um número de grãos de areia menor
do que 10.000.000 unidades da oitava ordem.
Pois,
por hipótese,
(terra) : ('universo') = ('universo') : (esfera das estrelas fixas).
E,
(diâmetro
do 'universo') < 10.000 (diâmetro da terra)
bem
como
(diâmetro
da esfera das estrelas fixas) < 10.000 (diâmetro do 'universo')
logo
(esfera
das estrelas fixas)< (10.000)³
. ('universo').
Segue-se
que o número de grãos de areia que estaria contido numa esfera igual à esfera
das estrelas fixas
<
(10.000)³ x 1.000 unidade da sétima ordem
< (13º termo da série) x (52º termo da série)
<
64º termo da série
<
10.000.000 unidades da oitava ordem dos números.
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10.000.000 unidades da oitava ordem,
ou seja, . Arquimedes vai mais além ao determinar o número de
grãos de areia necessários para preencher o 'universo' de Aristarco.
Consegue provar que para tal, são necessários
grãos o que, na notação
utilizada por Arquimedes, corresponde a "dez milhões de unidades da
oitava ordem de números (onde os números de segunda ordem começam com
uma miríade de miríades, e os de oitava com a sétima potência de um
miríade de miríades)" (cf. Boyer, 1986:86).
Uma miríade corresponde ao número 10.000.
64º termo da série,
ou seja, |
Conclusão
"Creio
que estas coisas, Rei Gelão, possam parecer inacreditáveis para a grande
maioria das pessoas que não estudam matemática. Mas para aqueles que estão dentro do assunto e que já pensaram na questão das distâncias e tamanhos
da terra, do sol, da lua e do universo inteiro a prova terá algum fundamento. E
foi por este motivo que achei que o tema seria apropriado para a vossa
consideração."
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