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Ars Magna |
Observe-se que a necessidade de tratamento de todos estes casos, que se deve ao facto de apenas serem admitidos coeficientes positivos, torna a leitura do livro muito fastidiosa para o leitor actual.
No início do capítulo onze antes de tratar da equação A metodologia utilizada por Cardano em cada um dos treze capítulos atrás mencionados é a seguinte: primeiro faz a demonstração para um caso particular, utilizando, quase sempre relações entre volumes de cubos e paralelepípedos já estabelecidos em capítulos anteriores, em seguida, enuncia a regra geral para todas as equações do mesmo tipo, por fim, aplica a regra a alguns exemplos numéricos, acompanhando-a de uma breve explicação.
Assim, no estudo da cúbica Por exemplo, seja 6H3 mais seis vezes o seu lado 6H igual a 20, e sejam AE e CL dois cubos cuja diferença é 20 e tais que o produto de AC, o [de um] e CK, o lado [do outro], é 2, nomeadamente um terço do coeficiente de x (...) (Cardano, 1993, p.96)
Em linguagem actual isto significa que vai tomar um cubo de lado
a e um cubo de lado b tais que a diferença entre os volumes é
20, isto é, A justificação, apresentada de forma retórica e baseada em argumentos geométricos, consiste resumidamente no seguinte:
Como
A formulação da regra geral para a resolução da equação
Observe-se que, os números
Logo, a única raiz real da cúbica
Exemplo:
A aplicação desta regra à resolução da equação
O cubo da terça parte do coeficiente de x é 8, o quadrado de
metade da constante é 100, a raiz quadrada do todo é
A resolução destas equações seguiu-se a das equações
Não registaremos todas as considerações feitas por Cardano
para
reduzir uma cúbica qualquer a outra onde o termo de grau dois estivesse
ausente. No entanto pode constatar-se que, nas reduções que efectuou, usou
substituições dos tipos
Assim, por exemplo, para reduzir a cúbica
Na primeira equação cúbica tratada no Ars Magna, que era
do tipo
De facto, quando Foi certamente por observar esse facto que Cardano procurou contornar o problema, começando por supor, no enunciado da regra geral de resolução destas equações, que o cubo da terça parte do coeficiente de x não é maior do que o quadrado de metade da constante da equação. Contudo, não indicou, nesse capítulo, nenhuma alternativa que resolvesse a situação problemática. No entanto, ainda no Ars Magna, mas num capítulo mais adiante, intitulado “Acerca de regras particulares e imperfeitas”, Cardano volta a referir-se a equações do tipo “cubo igual a primeira potência e constante”, enunciando algumas regras, que reconhece serem particulares, para a determinação de soluções.
E, usando precisamente o exemplo Divide-se o coeficiente de x em duas partes tais que o produto de uma delas pela raiz quadrada da outra é 32. As partes são 16 e 4; Soma à primeira destas partes um quarto da segunda, obtendo 16+1, ou seja 17;
Toma a raiz quadrada do todo,
Obtém-se uma única solução,
É fácil verificar que Na primeira edição do Ars Magna,
Cardano não dá qualquer
justificação para este procedimento e é até curioso observar que para resolver
a equação (1)
Observe-se, a título de curiosidade, que para a equação |