Objectivos
Pretende-se que os alunos adquiram o domínio dos conceitos matemáticos de continuidade, derivada e primitivas e que sejam capazes de os usar para a resolução de problemas. Nomeadamente, estas técnicas serão aplicadas ao cálculo de integrais e à resolução de equações diferenciais.
Programa
- Sucessões: Definição de sucessão convergente, técnicas para cálculo de limites. Monotonia. Singularidades.
- Funções: Definição. Funções lineares, polinomiais, racionais, trigonométricas, exponencial. Propriedades das funções: injectividade, invertibilidade, monotonia. Composição de funções. Funções trigonométricas inversas, função logarítmica. Gráficos. Funções pares e ímpares. Continuidade. Teorema de Bolzano e consequências.
- Derivação: Definição e alguns exemplos elementares. Derivada da soma, do produto, do quociente e da função composta. Extremos locais e monotonia. Teoremas de Rolle e Lagrange. Derivadas de ordem superior. Fórmula de Taylor.
- Primitivação: Primitivas imediatas. Primitivação por partes. Definição de integral de Riemann, interpretação gráfica. Propriedades básicas. Teorema do valor médio. Teorema fundamental do cálculo integral (fórmula de Barrow). Integração por substituição. Aplicações: cálculo de comprimentos, áreas e volumes.
- Equações diferenciais ordinárias: Definição. Problemas de valores iniciais. Equações lineares e não lineares. Exemplos. Equações separáveis. Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Funções de várias variáveis reais: Gráficos, curvas de nível. Derivadas parciais, gradiente, plano tangente. Ortogonalidade do gradiente às curvas de nível. Gradiente e pontos críticos. Exemplos de equações com derivadas parciais.
Bibliografia
S. Salas, E. Hille, G. Etgen, Calculus: one variable, Wiley, 1999.