Infelizmente, a primeira carta que Pascal enviou a Fermat, carta na qual terá sido apresentado o problema, já não existe. No seguimento desta, Fermat enviou uma carta a Pascal (com data desconhecida) onde refere, de modo sucinto, aquilo que deve ter sido dito por Pascal na primeira carta. Nesta, Fermat dá a conhecer um exemplo que, em seu ver, vai contra o que fora defendido por Pascal na primeira carta.
A situação é a seguinte:
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dois jogadores, A e B, lançam um dado com o objectivo de conseguir um ponto em 8 lançamentos. |
Se os jogadores acordarem que o jogador A não deve fazer o 1º lançamento, segundo Fermat ele deve ficar com 1/6 do total da aposta.
Se, após isto, concordarem que não deve ser feito o 2º lançamento por parte do jogador A, este deve ficar com 1/6 do que resta, ou seja, 1/6 * (1 - 1/6) = 5/36.
De seguida, acorda-se que A não deve fazer o 3º lançamento e, então, pelo mesmo raciocínio, A deve ficar com 1/6 do que resta, ou seja, 1/6 * (5/6 - 5/36) = 25/216.
Analogamente, obtém-se 125/1296 como sendo o valor com que o jogador A deve ficar caso seja acordado não fazer a 4ª jogada.
Após esta exposição, Fermat refere um exemplo proposto por Pascal, na primeira carta.
"...caso eu queira saber qual o valor da 6ª jogada em 8 lançamentos, e caso tenha tentado três vezes sem o conseguir, e caso o meu opositor proponha que eu não devo jogar uma quarta vez, e se ele desejar que eu seja tratado com justiça, é aceitável que eu fique com 125/1296 da soma total das nossas apostas".(1)
Contudo, isto vai contra a teoria de Fermat pois, se o outro jogador não ganhou nada nas três primeiras jogadas, a quantia em jogo é a mesma de início e, então, o jogador que concorda em não jogar a sua 4ª jogada deve ficar com 1/6 do dinheiro em jogo que é, exactamente, 1/6 (e não 125/1296) da soma total das apostas.
Após esta justificação, Fermat convida Pascal a escrever-lhe: "para saber se concordamos com a teoria, como acredito que concordamos, ou se discordamos relativamente à sua aplicação".(2)
Notas:
(1) Fermat, 2ª carta a Pascal, sem data, in, Smith, D. (1959) Source of Mathematics, volume II, (pp. 546-547).
(2) Ibid
