Ao longo de todo este trabalho, por forma a ilustrar cada tema, inserimos pequenos excertos de traduções que efectuamos a partir de algumas obras inglesas e francesas, que se citam em nota de rodapé.

       Traduzimos, também, uma parte mais extensa de uma tradução inglesa efectuada a partir de uma tradução latina,  que apresentamos de seguida.

 

Al-Kitāb al-muhtasar fī hisāb al-ğabr wa-l-muqābala

(Breve obra sobre o cálculo da álgebra e do mucabala)

de

Abū ‘Abdallah Muhammad Ibn Mūsā Al-Khwārizmī Al-Mağūsī

        Tradução efectuada a partir da tradução inglesa publicada por L.C. Karpinski, Robert of Chester’s Latin translation of the Algebra of Khowarizmi (Macmillan, New York, 1915).

 

CONTENDO DEMONSTRAÇÕES DAS REGRAS DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

 ... Além disso descobri que os números de restauração e oposição[1] são compostos destes três tipos: nomeadamente, raízes, quadrados e números[2]. Contudo, o número por si só não está relacionado nem com raízes nem com quadrados por qualquer razão. Destes, então, a raiz é qualquer coisa composta de unidades que se podem multiplicar por si próprias, ou qualquer número maior que a unidade multiplicado por si próprio: ou aquilo que se encontra abaixo da unidade quando multiplicado por si próprio. O quadrado é o que resulta da multiplicação de uma raiz por si própria.

          Destas três formas, então, duas devem igualar-se, como por exemplo:

                   Quadrados igual a raízes

                   Quadrados igual a números 

                   Raízes igual a números.[3]

 

CAPÍTULO I. SOBRE QUADRADOS IGUAL A RAÍZES[4]

           O que se segue é um exemplo de quadrados igual a raízes: um quadrado é igual a 5 raízes. A raiz do quadrado é então 5, e 25 forma o seu quadrado, o que, obviamente é igual a cinco das suas raízes.

          Outro exemplo: a terça parte de um quadrado igual a quatro raízes. Então a raiz do quadrado é 12 e 144 designa o seu quadrado. Da mesma forma, cinco quadrados igual a 10 raízes. Então um quadrado é igual a duas raízes e a raiz do quadrado é 2. Quatro representa o quadrado. De igual modo, aquilo que envolve mais de um quadrado ou é menos de um, reduz-se a um quadrado. A mesma operação é ainda repetida para as raízes que acompanham os quadrados.

 

CAPÍTULO II. SOBRE QUADRADOS IGUAL A NÚMEROS

           Quadrados igual a números é ilustrado da seguinte forma: um quadrado é igual a nove. Então nove é a medida do quadrado do qual três representa uma raiz.

          Quer haja muitos ou poucos quadrados, eles terão de ser reduzidos da mesma maneira à forma de um quadrado. Ou seja, se existirem dois, três ou quatro quadrados, ou mesmo mais, a equação formada por eles com as suas raízes tem de ser reduzida à forma de um quadrado com a sua raiz. Se houver menos de um quadrado, ou seja, se for proposto um terço, um quarto ou um quinto de um quadrado ou raiz deve tratar-se da mesma forma.

          Por exemplo, cinco quadrados igual a 80. Portanto um quadrado iguala a quinta parte do número 80 que, claro, é 16. Para tomar outro exemplo, metade de um quadrado igual a 18. Consequentemente, este quadrado é igual a 36. Da mesma forma, todos os quadrados, ainda que muitos, são reduzidos a um quadrado, ou o que for menos de um é reduzido a um quadrado. A mesma operação deve ser efectuada sobre os números que acompanham os quadrados.

 

CAPÍTULO III. SOBRE RAIZES IGUAL A NÚMEROS

           O que se segue é um exemplo de raízes igual a números: uma raiz é igual a 3. Logo, nove é o quadrado desta raiz.

          Outro exemplo: quatro raízes igual a 20. Então, uma raiz deste quadrado é 5. Ainda outro exemplo: metade de uma raiz é igual a dez. Por conseguinte, a raiz completa é igual a 20, da qual, claro está, 400 representa o quadrado.

          Por consequência, raízes e quadrados são números puros, como mostrámos, distintos uns dos outros. Donde também destes três tipos que acabámos de explicar, três tipos distintos de equações são formados envolvendo três elementos:

                   Quadrados e raízes igual a números,

                   Quadrados e números igual a raízes

                   Raízes e números igual a quadrados.

 

CAPÍTULO IV. SOBRE QUADRADOS E RAÍZES IGUAL A NÚMEROS

          O que se segue é um exemplo de quadrados e raízes igual a números: um quadrado e dez raízes são iguais a 39 unidades[5]. A questão neste tipo de equação é a seguinte: qual é o quadrado que combinado com dez das suas raízes dá a soma total de 39? A forma de resolver este tipo de equação é tomar a metade da raiz em causa. As raízes do nosso problema são 10. Tomemos então 5, que multiplicado por si próprio dá 25, uma quantidade que se soma a 39 dando 64. Determinando a sua raiz quadrada que é 8, subtrai-se metade das raízes, 5, restando 3. O número 3 representa então uma raiz deste quadrado, sendo ele próprio, claro está, 9. Nove dá-nos aquele quadrado.

          De forma semelhante, independentemente de quantos quadrados são propostos, estes têm de ser reduzidos a um quadrado. Também é necessário reduzir os números ou raízes que os acompanham da mesma forma pela qual se reduzem os quadrados.

          Segue-se um exemplo desta redução: dois quadrados e dez raízes igual a 48 unidades. A questão neste tipo de equação é qualquer coisa como: quais são os dois quadrados que, ao serem combinados por forma a que se dez raízes deles lhes forem adicionadas, a soma total iguala 48? Em primeiro lugar, é necessário que os dois quadrados sejam reduzidos a um. Mas, dado que um quadrado é metade de dois, é de imediato evidente que devem dividir-se por dois todos os termos dados neste problema. Isto dá um quadrado e 5 raízes igual a 24 unidades. O significado disto é o seguinte: qual é o quadrado que iguala 24 quando se lhe soma 5 das suas raízes? Para começar, é necessário, lembrando a regra acima enunciada, tirar metade das raízes. Isto dá duas raízes e meia, o que, multiplicado por si próprio, dá 6¼ . Somando isto a 24 dá 30¼. Determina-se então a raiz quadrada deste total que é, claro está, 5½. Deste valor subtrai-se metade das raízes, 2½, sobrando 3, o que expressa uma raiz do quadrado, sendo ele próprio 9.

 

CAPÍTULO VI. SOBRE AS DEMONSTRAÇÕES GEOMÉTRICAS

          Já dissemos o suficiente sobre os seis tipos de equações, diz Al-Khowarizmi, no que se refere a números. Contudo, é necessário que se demonstre geometricamente a verdade dos mesmos problemas que foram explicados em números. Portanto, a primeira proposição é a de que um quadrado e dez raízes é igual a 39.

          A prova é a que se constrói [Fig.1] com um quadrado de lados desconhecidos. Seja a figura quadrada a representação do quadrado (segunda potência do desconhecido) que, conjuntamente com as suas raízes se pretende determinar. Seja ab o quadrado em que qualquer dos lados representa uma raíz.  Quando se multiplica qualquer dos seus lados por um número (ou números), é evidente que o que resulta da multiplicação será um número de raízes igual à raíz do mesmo número (do quadrado). Dado que foram propostas dez raízes com o quadrado, consideremos a quarta parte do número dez e vamos aplicá-la a cada lado do quadrado uma área de lados equidistantes, na qual o comprimento seja o mesmo que o do quadrado descrito em primeiro lugar e a largura seja 2½, que é a quarta parte de dez. Logo, quatro áreas de lados equidistantes são aplicadas ao primeiro quadrado ab. Para cada um destes, o comprimento é uma raíz do quadrado ab e a largura 2½, como dissemos.

 

Fig. 1

  

          Temos agora as áreas c,d,e,f. Portanto, a partir do que foi dito, tem-se que existem quatro áreas cujos lados têm comprimentos diferentes, também considerados como desconhecidos. O valor das quatro áreas em cada um dos quatro cantos, pode ser determinado multiplicando 2½ por 2½, que completa o que falta à área maior. Donde, completa-se o desenho da área maior, pela adição dos quatro produtos, cada um dos 2½ por 2½. O total desta multiplicação dá 25.

          É agora evidente que a primeira figura quadrada, que representa o quadrado do desconhecido [x2], e as quatro áreas circundantes [10x] dão 39. Quando juntamos 25 a este resultado, ou seja, os quatro quadrados menores que estão colocados nos quatro angulos do quadrado ab, o desenho do quadrado maior, chamado GH , é completado [Fig.2]. Donde, dado que a soma total é 64, número do qual 8 é raíz, é por esta razão, um lado da figura total. Portanto, quando se subtrai de oito duas vezes a quarta parte de dez, que se encontra nas extremidades do qudrado maior GH, resta 3. Ao subtrair-se cinco de oito sobram necessariamente 3, o que é igual a um lado do primeiro quadrado ab.

 

Fig.2

 

          Este 3 expressa, então, uma raíz da figura quadrada, uma raíz do quadrado do desconhecido proposto, e 9 o próprio quadrado. Logo, considera-se metade de dez e multiplica-se por si próprio, adicionando de seguida o produto total da multiplicação a 39, para que o quadrado maior possa ser completado; isto porque a falta dos quatros quadrados, deixa incompleto o quadrado. É evidente que a quarta parte de qualquer número, multiplicada por si própria, e depois por quatro, dá o mesmo que a metade do número multiplicada por si própria. Portanto, se metade da raíz for multiplicada por si própria, o total desta multiplicação apagará, igualará ou cancelará a multiplicação da quarta parte por si própria e depois por quatro.


[1] Termos que significam, respectivamente, a transferência de números negativos de um para o outro lado da equação, e a redução de termos semelhantes. [N.T.I.]

[2] O termo “raízes” (radices) significa múltiplos do desconhecido, o nosso x; o termo “quadrados” (substantiæ) significa múltiplos do nosso x2;  o termo “números” (numeri) são constantes. [N.T.I.]

[3] Na nossa notação, x2=ax , x2=b, x=c. [N.T.I.]

[4] Os exemplos são x2=5 x ,  1/3 x2= 4 x, 5x2=10 x. [N.T.I.]

[5]  Este exemplo, x2+10 x=39, solução x=3, “corre”, como Karpinski aponta na sua introdução a esta tradução, “como um fio de ouro através das álgebras por muitos séculos, aparecendo nas álgebras de Abu Kamil, Al-Karkhi e Al-Khayyam, e frequentemente nos trabalhos de autores cristãos,” e ainda beneficia os textos actuais de álgebra. A solução deste tipo, x2+ax=b é, como podemos verificar baseada na fórmula         

             . [N.T.I.]