O matemático
Erdös foi um trabalhador
incansável. Escreveu e foi co-autor de 1475 artigos científicos sobre Teoria dos
Números e sobre Matemática Discreta tendo 485 co-autores. Porém, como o próprio
Erdös costumava dizer, o esplendoroso número de artigos escritos nada revela.
Os artigos têm de ser pesados, não contados: "nom numeratur, sed ponderantur".
O seu modus operandi consistia
em aparecer à porta de um colega matemático e declarar:"o meu cérebro está
aberto". Trabalhava então com o anfitreão durante um ou dois dias até se
aborrecer ou este ficar esgotado e, depois, seguia em frente para bater noutra
porta.
O seu mote de trabalho era "uma
demostração em cada telhado". Fez matemática em mais de 25 países
diferentes, concluíndo importantes demonstrações em locais remotos e, por
vezes, publicando-as em revistas igualmente obscuras. Um colega, em sua
homenagem, escreveu o seguinte poema:
Uma conjectura tão grave como profunda
É a de um círculo ser redondo
Num artigo de Erdös
Escrito em curdo
É apresentado um contra-exemplo.
(cit in Hoffman, 2000:14)
Erdös era um emotivo. Por
exemplo, tinha vários amigos entre os seres matemáticos mas apenas considerava
intímos os números primos.
Não simpatizava tanto com os
números imaginários. Não tinha quaisquer objecções filosóficas contra estes
números mas preferia limitar os seus instrumentos de trabalho aos
números inteiros, racionais e irracionais.
Isto sem falar do
"Número de Erdös" que foi constituído em sua honra!
A sua capacidade de solucionar
problemas era inacreditável. Eis um testemunho do seu colega George Prudy:
"Em 1976, estávamos a tomar café na sala de convivio de matemática da A&M do
Texas. Havia um problema no quadro relacionado com análise funcional, uma área
acerca do qual Erdös nada sabia. Eu por acaso sabia que dois analistas tinham
acabado de produzir uma solução de 30 páginas para o problema, com a qual
estavam muito orgulhosos. Erdös olhou para aquilo e perguntou: 'O que é aquilo?
É um problema?' Disse-lhe que sim. Ele levantou-se e pôs-se a olhar, com os
olhos semicerrados, para o lacónico enunciado do quadro. Fez algumas perguntas
sobre o que representavam os símbolos e então, sem esforço, escreveu uma
solução de duas linhas" (cit in Hoffman, 2000:50).
Em 1936, Erdös encontrou
Vázsonyi que estava a fazer investigação sobre um clássico teorema de grafos: o
teorema de Königisberg de
Euler estendendo-o ao caso infinito. Vázsonyi já tinha demostrado a
condição necessária mas estava com dificuldade em demostrar a condição
suficiente. Passados 20 minutos Erdös deu-lhe a demonstração.
Também lhe é reconhecida
uma
extraordinária capacidade de pensar em mais de um problema ao mesmo tempo :
"Andava à volta da sala, como um grande mestre a jogar partidas simultâneas de
xadrez. Era muito estimulante. Tinhamos algum tempo para pensar enquanto ele
trabalhava com os outros, antes de voltar para a nossa beira. E havia a
possibilidade de ver os problema em que os outros estavam a trabalhar."
- Ronald Rothschild.(cit in Hoffman, 2000: 51)
Trabalho de grupo
Era singularmente generoso no
que diz respeito a partilhar problemas com os colegas. Quando, em 1994,
Andrew Wiles(1953- ) demonstrou o Teorema de
Fermat(1601-1665), Erdös não aprovou o facto de Wiles ter trabalhado
isoladamente. Para Erdös, o teorema poder-se-ia ter demostrado mais cedo se
tivesse sido partilhado o esforço da sua resolução.
Andrew Wiles (1953-) 
Fermat
(1601-1665)
Ao contrário dos outros
cientistas, os matemáticos não deixam um rasto de resultados laboratoriais para
provar quem fez o quê. A primacia é por isso algo de muito importante. O
falecido
R.L.Moore (1882-1974), um importante matemático do Texas, dizia que "preferia
que não se pensasse num teorema se não fosse eu a pensá-lo"(cit in
Hoffman, 2000:43).
Pelo contrário, para Erdös o
importante é que alguém demostrasse um resultado, com ou sem a sua
contribuição.
R.L.Moore (1882-1974)
No período em que esteve no
Instituto de Estudos Avançados, Paul resolveu o extraórdinário
problema da Teoria da Dimensão: a dimensão (indutiva) do conjunto dos pontos
racionais no espaço de
Hilbert (1862-1943). Os peritos achavam que a dimensão deveria ser zero
ou infinito, visto que o espaço é homeomórfico ao seu quadrado. Erdös
surpreendeu o mundo demonstrando que a dimensão é um.
Em 1943,
num artigo intitulado "On
the law of interated logarithm", Erdös apresentou ao mundo o primeiro
estudo sobre cardinais inacessiveís, fundamental para a moderna Teoria
dos Conjuntos. Nesse mesmo ano viu a luz num artigo de Erdös e
Tarski (1902-1983), e o Teorema de Erdös-Stone, que abriu o
campo da Teoria dos grafos extremais, apareceu em 1946.
Erdös foi pioneiro na
Teoria De Ramsey - teoria segundo a qual a desordem completa é
impossível. O seu primeiro resultado foi mostrar que 71 pontos garantiam sempre
a existência de um hexágono convexo, embora se pensasse que 17 pontos (24+1)
eram suficientes (demonstrou-se que num conjunto suficientemente grande de
pontos não é possível evitar a existência de hexágonos). Este problema voltou a
ser abordado em 1996, após a morte de Erdös.
Graham e Fan
baixam para 70 o números de pontos necessários e, em 1997, o número
voltou a ser
diminuido para 37.
Uma das contribuições mais
fundamentais de Erdös foi ter desenvolvido uma nova e poderosa forma da
demostração de existência chamada Método
Probabílistico. Esta técnica foi introduzida em 1947 para solucionar um
problema da Teoria de Ramsey.
Em 1949, Erdös e
Selberg (1917- ) demonstraram o Teorema dos Números Primos de
Gauss segundo a qual, à medida que os números crescem e os números
primos se tornam mais raros, a densidade é inversamente proporcional ao
logaritmo natural; a distância média entre dois números consecutivos na
proximidade de um dado n pode ser aproximada pelo log natural de n, tornando-se
a aproximidade cada vez maior à medida que n aumenta.
Ainda
nesse ano, Erdös
demontrou que, se tivermos n+1 inteiros menores ou iguais a 2n, existem sempre
dois deles que são primos relativos, isto é, dois deles são consecutivos. Por
exemplo, seja n igual a 5. A conjectura diz que, se escolhermos 6 números
inteiros do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} não podemos evitar que
dois deles sejam primos relativos (isto é, que não têm qualquer divisor comum
maior que 1). A conjectura falharia se pudessemos escolher 5 pois, neste
conjunto existem 5 números pares: 2, 4, 6, 8, 10, todos eles partilhando,
obviamente, o divisor 2.
Em 1966, Erdös e
John Selfridge demonstraram que o produto de inteiros consecutivos
nunca é uma potência. O trabalho só viria ser publicado em 1975.
Em 1969,
Cohen(1934-) demostrou que a Hipótese
do Contínuo pode ser admitida como verdadeira ou falsa sem contradizer
outros resultados sobre conjuntos infinitos. Para Erdös nada era mais
revoltante:
"Se fosse vivo daqui a mil anos, perguntaria se já existia uma solução para a
Hipótese do Contínuo? Supondo que exista um inteligência infinita, poderia ela
decidir se a Hipótese do Contínuo é verdadeira ou falsa? A maioria dos lógicos
acham que isso não pode ser feito. Sim, a Hipótese do Contínuo é, de certa
forma, indecidível. Mas é concebivel que uma inteligência infinita pudesse
decidi-la, porque existem métodos de demostração que não conseguimos
compreender mas que uma inteligência superior poderia compreender. Não quero
dizer com isto que tais métodos já existam. Nem diria que acredito que tais
métodos existam efectivamente. Mas poderiam existir."
(Erdös, cit in Hoffman, 2000:226).
Ainda àcerca da hipótese do
contínuo, Paul costumava contar uma anedota sobre um homem que estava a tentar
converter pessoas e que perguntava:
"O que diria você a Jesus se o visse na rua?' Erdös diz que perguntaria a Jesus
se a Hipótese do Contínuo era
verdadeira. 'E haveria três respostas possíveis que Jesus poderia dar. Podia
dizer:
Gödel e
Cohen já lhe ensianaram tudo o que há para saber sobre isso.' A segunda
resposta seria: 'Sim, há uma resposta, mas, infelizmente, o seu cérebro ainda
não está suficientemente desenvolvido para saber a resposta'. E Jesus podia
ainda dar uma terceira resposta: 'O Pai, o Espírito Santo e Eu temos andado a
pensar nisso desde muito antes da criação mas ainda não chegámos a uma
conclusão'.
(Erdös, cit in Hoffman, 2000:226).
Em 1980, Erdös publicou com
Vértesi um espectacular (adjectivo utilizado por László Babai in
Notices of AMS, p.71) Teorema sobre interpolação: Dado qualquer sistema de nós,
existe uma função contínua f tal que a sequência da interpolação dos polinómios
de
Lagrange de f nos dados nós diverge em quase todo o lado.
Uma das discussões mais antigas
em filosofia da matemática é se a matemática é criada ou descoberta.
A opinião de Erdös é a
seguinte:
"Se acreditamos em Deus, a resposta é obvia. As verdades matemáticas já existem
na mente do SF (Deus) e nós limitamo-nos a redescobri-las. Lembrem-se do poema
humorístico:
Havia um homem que dizia "Deus
Sempre me pareceu estranho
Que a árvore do sicômoro
Simplesmente deixasse de existir
Quando não estivesse ninguém no
pátio."
"Caro senhor, o seu espanto é
estranho;
Eu estou sempre no pátio:
E é por isso que a árvore
Continua a existir,
Uma vez que é observada pelo,
Fielmente seu, Deus".
"Não sou competente para dizer
se Deus existe ou não. Tenho algumas dúvidas que exista. No entanto, estou
sempre a dizer que o SF (Deus) tem um Livro transfinito - sendo
transfinito um conceito matemático que significa maior que o infinito - que
contém as melhores demostrações de todos os teoremas matemáticos, demonstrações
que são elegantes e perfeitas".
(Erdös, cit in Hoffman, 2000:30)
Nesse sentido, o maior elogio
que Erdös podia fazer a um colega era dizer que a sua demostração tinha saído
do Livro.
Outra questão filosófica que se
coloca à matemática é relativa à sua adequação à realidade. Erdös aceitava que
pudesse existir essa adequação. Na verdade, ao contrário de
G.H. Hardy(1877-1947) que elogiava o seu trabalho por ser completamente
inútil mal sabendo que o seu trabalho sobre números primos iria mais tarde ser
utilizado pelo Pentágono como base de códigos secretos, para Erdös tudo o que
podia ser utilizado para o mal, poderia também ser utilizado para o bem
"Afinal, as equações diferenciais que regulam a difusão de gases venenosos são
as mesmas que governam o espalhamento de poluentes. Assim, podemos espalhar
gases venenosos deliberadamente mas também podemos evitar o espalhamento da
poluição."
(Erdös, cit in Hoffman, 2000:169)
Para Paul a matemática era
ordem e beleza no seu estado mais puro, ordem essa que transcendia o mundo
físico. "É como perguntar porque é bela a sinfonia de" Beethoven?
Se não vê porquê, ninguém poderá explicar-lhe. Sei que os números são belos. Se
não são belos, então nada o é." (Erdös, cit in Hoffman, 2000:46)
Livros Publicados por Erdös
* Combinatorics, Geometry and Probability : A Tribute to Paul Erdos by
Paul Erdos (Editor), Andrew Thomason (Editor)(Hardcover - July 1997)';,
* Professional Mail Surveys by Paul L. Erdos(Hardcover - September
1983)';,
* The Mathematics of Paul Erdos (Vol 2)(Algorithms and Combinatorics,
Vol 14) by Paul Erdos (Editor), Jaroslav Nesetril (Editor)(Hardcover - November
1996)';,
* Lattice Points (Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied
Mathematics, 39) by Paul Erdos, et al(Hardcover - April 1989)';,
* The Physics of Actinide Compounds by Paul and Robinson, John M.
Erdos(Hardcover - June 1983)';,
* Collected Papers of Paul Turan by Paul Erdos(Hardcover - December
1990)';,
* Paul Erdos : The Art of Counting by Paul Erdos(Textbook Binding -
October 1973)';,
* Combinatorial Set Theory : Partition Relations for Cardinals : Studies in
Logic and the Foundations of Mathematics Series by Paul Erdos(Hardcover
- July 1984)