Demonstrações

 

Inverso de um Número Complexo

Seja z = a + bi. O seu  inverso será z-1 = 1/(a + bi). 
Multiplicando e dividindo por z obtém-se: 

1/(a + bi) = (a - bi)/[(a + bi).(a - bi)] = 
(a - bi)/[a2 - (-b2) + (-ab + ab)i] = (a - bi)/(a2 + b2), isto é:

  z -1 = (a - bi)/(a2 + b2)

 

Produto de Dois Números Complexos na Forma Trigonométrica

Consideremos dois números complexos: z1 = r1cisq1 e z2 = r2cisq2. 
Vamos multiplicá-los usando a regra vista anteriormente:

z1.z2 = r1(cosq1 + isenq1)r2(cosq2 + isenq2) =
= r1r2[(cosq1cosq2 - senq1senq2) + i(senq2cosq1 + senq1cosq2)] =
= r1r2[cos(q1 + q2) + isen(q1 + q2)] = r1r2cis(q1 + q2)

Como desejávamos provar.

 

Divisão de Dois Números Complexos

Tomemos dois complexos da forma z1 = a + ib e z2 = c + id
Vejamos que para obter z1/z2 = z1.z2-1, basta multiplicar e dividir z1 por z2

z1/z2 = (a + ib)/(c + id)  

Multiplicando e dividindo por z2 obtém-se: 

(a + ib)(c - id)/(c + id)(c - id) = (a + ib)[(c- id)/(c2 + d2)] = z1.z2-1

Como queríamos provar.

 

Igualdade de Euler

A fórmula de Euler pode ser demonstrada usando séries:

 

 


Ou, usando integrais de complexos:

 .

 

Propriedades

Consideremos os seguintes números complexos z = a + ib, w = c + id e y = e + if.

 (z + z)/2 = [(a + ib) + (a - ib)]/2 = [(a + a) +  i(b - b)]/2 = (2a + i0)/2 = 2a/2 = a = Re(z)

 

(z - z)/2i = [(a + ib) - (a - ib)]/2i = [(a - a) +  i(b + b)]/2i = (0 + 2ib)/2i = 2ib/2i = b = Im(z)

 

z + z = (a + ib) + (a - ib) = (a + a) + i(b - b) = 2a + i0 = 2a = 2Re(z)

 

O conjugado de z = a + ib é a - ib.
O conjugado de a - ib será a + ib, ou seja, z.

 

z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + c) +  i(b + d) = (a + c) - i(b + d) = (a- ib) + (c - id) = z + w

z . w = (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc) = (ac - bd) - i(ad + bc) = (a - ib)(c - id) =  z . w

|z2| = ½(a + ib)2½ = ½(a + ib)(a + ib)½=½(a2 - b2) + i(ab + ba)½=

½(a2 - b2) + 2iab½ = Ö[(a2 - b2)2 + (2ab)2] =

Ö[(a2)2 - 2a2b2 + (b2)2 + 4a2b2] = Ö[(a2)2 + 2a2b2 + (b2)2] =

Ö(a2 + b2)2 = a2 + b2 = [Ö(a2 + b2)]2 = ½z½2

z . z = (a + ib)(a - ib) = (a2 + b2) +  i(-ab + ba) = (a2 + b2) + i0 = a2 + b2 = ½z½2

z -1 = (a - ib)/(a2 + b2) = (a - ib)/[Ö(a2 + b2)]2 =  z/ |z|2   

|z . w| = |(a + ib)(c + id)| = |(ac - bd) + i(ad + bc)| = Ö[(ac - bd)2 + (ad + bc)2] =

Ö[(ac)2 - 2acbd + (bd)2 + (ad)2 + 2adbc + (bc)2] = Ö[(ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2] =

Ö[(a2 + b2)(c2 + d2)] = Ö(a2 + b2)Ö(c2 + d2) = |a + ib|.|c + id| = |z|.|w|

 

½z + w½ £ ½z½+½w½Û½ z + w½2 £ (½z½+½w½)2 Û

½(a + ib) + (c + id )½2 £ ½z½2 + 2½z½½w½+½w½2 Û

½(a + ib) + (c + id )½2 £ ½a + ib½2 + 2½a + ib½½c + id½+½c + id½2 Û

(Ö[(a + c)2 + (b + d)2])2 £ [Ö(a2 + b2)]2 + 2Ö(a2 + b2)×Ö(c2 + d2) + [Ö(c2 + d2)]2 Û

(a + c)2 + (b + d)2 £ a2 + b2 + 2Ö[(a2 + b2)(c2 + d2)] + c2 + d2  Û

a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 £ a2 + b2 + 2Ö[(a2 + b2)(c2 + d2)] + c2 + d2 Û

2(ac + bd) £ 2Ö[(a2 + b2)(c2 + d2)] Û   ac + bd £ Ö[(a2 + b2)(c2 + d2)] Û

(ac + bd)2 £ (Ö[(a2 + b2)(c2 + d2)])2 Û

(ac)2 + 2acbd + (bd)2 £ (a2 + b2)(c2 + d2) Û

(ac)2 + 2acbd + (bd)2 £ (ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2 Û

2acbd £ (ad)2 + (bc)2 Û   (ad)2 - 2acbd + (bc)2 ³ 0 Û

 [(ad) – (bc)]2 ³ 0  

O que é verdade, pois um número ao quadrado é sempre nulo ou positivo.

Então, tem-se o resultado!