Tartaglia Dedekínd Cardano  Apresentamos alguns teoremas e algumas definições, entre eles, a definição de "grupo" e de "corpo".

Definição:

 Seja G um conjunto e * uma operação (binária) definida em G. Diz-se que o par (G,*) - ou, quando for claro a que operação nos referimos, apenas G - é um grupo quando:

1) * é associativa:

                         (x*y)*z = x*(y*z), ∀x,y,z ∊G;

2) Existe em G um elemento neutro para *:

                          ∃u ∊G : x*u = u*x = x, ∀x ∊G;

3) Para cada x ∊G, existe em G um elemento oposto:

                           ∀x ∊G, ∃x'∊G: x*x' = x'*x = u;

Diz-se que o grupo G é comutativo (ou abeliano) quando satizfaz a seguinte propriedade adicional:

4) * é comutativa:

                            x*y = y*x,  ∀x,y ∊G.

Definição:

Chama-se anel a uma estrutura constituída por um conjunto A e duas operações binárias definidas em A, arbitrariamente designadas por «adição» e «multiplicação», tais que:

1) a adição é associativa e comutativa;

2) existe em A um elemento, designado por 0, que é neutro para a adição e cada elemento de A tem simétrico;

3) a multiplicação é associativa;

4) a multiplicação é distributiva em relação à adição;

O anel diz-se comutativo quando:

5) a multiplicação é comutativa.

Definição:

Chama-se corpo a um anel comutativo e com identidade(1) , no qual todo o elemento não nulo é uma unidade (isto é, todo o elemento tem inverso).

Definição:

Sejam K um corpo e S∊K. S é subcorpo de K se e só se:

a) 0,1 ∊S;

b)∀x,y ∊S, x-y ∊S;

c) ∀x ∊S, ∀y ∊S\{0}, xy^-1 ∊S;

Definição:

Sejam K, L corpos. Dizemos que L é uma extensão de K se K é um subcorpo de L, e escrevemos K≼L neste caso. O símbolo L:K designa a extensão de K por L.

Teorema:

Suponhamos que L é uma extensão de K. Então podemos encarar L como sendo um espaço vectorial sobre K com respeito ás operações "naturais":

adição: x+y [adição do espaço vectorial] := x+y [adição do corpo L], ∀x,y ∊L;

multiplicação escalar: kx [produto escalar] := kx [produto em L], ∀k ∊K, ∀x ∊L.

Definição:

Sejam K, L corpos tais que L é uma extensão de K.

(a) (Grau de uma extensão). O grau da extensão L:K é a dimensão de L considerado como espaço vectorial sobre K; escreve-se |L:K| para este grau, onde se entende que  |L:K| é um cardinal (poderá ser infinito).

(b) (Extensão finita). Diz-se que L é uma extensão finita de K se o grau  |L:K| for finito; caso contrário, dizemos que L é uma extensão infinita de K.

Definição:

(a) Seja L uma extensão de K e seja λ∊L. Dizemos que λ é um elemento algébrico sobre K, se existe um polinómio p(t)∊K[t], onde  p(t)≠0, tal que p(t)=0; caso contrário, dizemos que  λ é transcendente sobre K.

(b) Seja L uma extensão do corpo K. Dizemos que L é uma extensão algébrica de K se  λ é algébrico sobre K para todos os elementos λ∊L.

Definição:

Seja L uma extensão de K. Dizemos que L é uma extensão simples de K se existe α∊L, tal que L = K(α).

Definição:

Seja L um corpo. Dizemos que o polinómio f(t)∊L[t] se decompõe em L se f(t) = λ.(t-α₁).....(t-α_n), onde λ,α_{1, ......,} α_n ∊L.

Definição: (Corpo de decomposição)

Seja K um corpo e seja f(t)∊K[t]. Dizemos que o corpo T é um corpo de decomposição para f(t) sobre K, se K∊L e se verificam as seguintes condições:

(a) f(t) decompõe-se em T; e

(b) se K≼T'≼T  e se f(t) se decompõe em T' então T' = T.

Definição:

Seja L:K uma extensão do corpo K. Dizemos que L:K é uma extensão normal se cada polinómio irredutível  f(t)∊K[t] que tem pelo menos uma raiz em L se decompõe em L.

Definição:

(a) Seja f(t) um polinómio irredutível sobre o corpo K. Dizemos que f(t) é separável sobre K se f não tem raízes múltiplas num corpo de decomposição.

(b) Dizemos que g(t)∊K[t] (não necessariamente irredutível) é separável sobre K se cada factor irredutível de g(t) em K[t] é separável sobre K.

(c) Seja L:K uma extensão de corpos e seja α∊L um elemento algébrico sobre K. Dizemos que α é separável sobre K se o polinómio mínimo de α sobre K é separável sobre K.

(d) Dizemos que a extensão algébrica L:K é separável se cada elemento α∊L é separável sobre K.

Definição:

Seja L:K uma extensão do corpo K. Então L:K é uma extensão radical se L = K(α_1,....,α_m) onde, para cada i = 1,....,m, existe n(i)∊ℕ tal que:

                      α_iⁿ⁽ⁱ⁾∊K(α_1,....,α_i-1), 2≤i,  α₁ⁿ⁽¹⁾∊K.

Definição: (Grupo de Galois)

(1) Seja L:K uma extensão de corpos. Define-se o Grupo de Galois, G(L:K), da extensão L:K como sendo G(L:K)={g: g é um automorfismo-k de L}.

Por outras palavras, G(L:K)={g: g é um automorfismo de L tal que k^g = k ∀k∊K}

(2) Sejam K um corpo, f(t) ∊ K[t] e L um corpo de decomposição de f sobre K. Define-se o Grupo de Galois de f(t) sobre K como sendo G(L:K).

Definição: (Grupo Resolúvel)

Seja G um grupo finito. Dizemos que G é resolúvel se existe uma cadeia de subgrupos

                                                  1 = G_0⊴ G_{1 ⊴} .........._⊴ G_n = G

onde todos os quocientes G_i/G_i-1 abelianos.

Teorema: (Galois, 1832)

Se f(t)∊ℚ[t] então, f(t) é resolúvel por radicais sobre ℚ se e só se o grupo de Galois de f(t) é resolúvel.

Teorema: (Galois, 1832)

Seja f(t)∊ℚ[t], irredutível e de grau primo sobre ℚ. Então, f é resolúvel por radicais sobre ℚ se e só se sempre que α≠β são raízes de f em ℚ, ℚ(α,β) é o corpo de decomposição de f sobre ℚ.

Corolário:

Seja f(t)∊ℚ[t], irredutível e de grau primo sobre ℚ. Se f(t) tem pelo menos duas raízes reais e pelo menos uma raiz não real, então f(t) não é resolúvel por radicais sobre ℚ. 

Teorema:

O polinómio f(t) = t⁵-6t+3 ∊ℚ[t], não é resolúvel por radicais sobre sobre ℚ. 

Proposição(*):