A Ordenação e a Cardinação

 


"(...) resta formular o problema no próprio terreno da numeração falada, naturalmente com o apoio de um material concreto, material susceptível de ser, por um lado, seriado e, por outro, avaliado cardinalmente."
                                                                              (Piaget, 1971, p.179)

 

Primeira Fase

  • "(...) não há, portanto, seriação correcta nem compreensão das relações entre os cardinais e ordinais." (Piaget, 1971, p.199).

  • "(...) a criança não é capaz de concluir um valor cardinal terminado a partir de uma posição dada, quando aquele valor não é fornecido, tal qual, à percepção, e que, inversamente, ela não consegue deduzir uma posição a partir de um valor cardinal determinado, quando deve reconstituí-lo, mesmo empiricamente." (Piaget, 1971, p.211).

  • "(...) não existe ainda coordenação entre o processo de natureza cardinal e os de natureza ordinal." (Piaget, 1971, p.209).


Segunda Fase

  • " (...) coordenação entre as posições ou categorias e os valores cardinais enquanto se trata de séries tomadas em bloco ou de classes fechadas, mas incoordenação nos pormenores dos valores particulares, ou, ainda, em poucas palavras, coordenação intuitiva e incoordenação operatória." (Piaget, 1971, p.213).

  • "(...) nenhuma delas consegue, sem erros ou longos tacteios, intercalar os bastões suplementares uma vez construída a primeira série (...) é precisamente essa diferença de ordem perceptiva que mostra que a construção de uma série pode dever-se à intuição enquanto que a inserção não pode." (Piaget, 1971, pp.186,187). O que faz com que estas crianças, embora consigam formar a primeira série, tenham dificuldades em intercalar elementos suplementares.

  • "As reacções (...) assinalam o início da coordenação entre as estruturas cardinais e as estruturas ordinais (...) compreensão das relações entre uma série intuitiva considerada em bloco e um valor cardinal tomado igualmente em bloco, mas incompreensão do elo necessário entre uma posição dada e o número cardinal correspondente." (Piaget, 1971, pp.211,212).

Terceira fase

  • A criança "(...) sabe seriar sem hesitação, ou seja, coordenando de saída estas relações em < e >. Por outro lado, para um elemento dado isoladamente, a criança (...) reencontra e ordena os termos que o precede sem ter necessidade de reconstituir o conjunto da série intuitiva." (Piaget, 1971, p.205).

  • "(...) vitória da operação sobre a intuição: nos dois casos, ela coordena antecipadamente o sistema das relações em jogo, porque a composição operatória leva por fim a palma sobre a constatação perceptiva (...)." (Piaget, 1971, p.209).

  • Compreensão da "(...) correspondência estreita da ordenação e da cardinação e a coordenação de pormenor atesta o carácter operatório (...)" (Piaget, 1971, p.213).

 


"(...) o número se constitui precisamente na medida em que (...) os elementos (...) são concebidos não mais como equivalentes ou não-equivalentes mas como sendo, simultaneamente, equivalentes e não-equivalentes. Se se preferir uma fórmula de aparência menos contraditória, o número não é somente classe que totaliza nem apenas uma relação seriada, mas, ao mesmo tempo, classe hierárquica e série. (...) Um número cardinal é uma classe cujos elementos são concebidos como "unidades" equivalentes umas às outras e, no entanto, distintas, com suas diferenças consistindo então unicamente em que se pode seriá-las e, portanto, ordená-las. Inversamente, os números ordinais são uma série da qual os termos, ao mesmo tempo em que se sucedem segundo as relações de ordem que lhe são atribuídas por suas posições respectivas, constituem igualmente unidades equivalentes umas às outras e, consequentemente, susceptíveis de serem reunidas cardinalmente. Os números finitos são, portanto, simultaneamente cardinais e ordinais, e isso resulta da própria natureza do número, que é ser um sistema de classes e de relações assimétricas fundidas num mesmo todo operatório. Os cardinais, portanto, resultam de uma abstracção da relação e essa abstracção não altera a natureza de suas operações, pois todas as ordens possíveis que se possam atribuir a n termos vem a dar na mesma soma cardinal n. Os ordinais, por seu lado, resultam de uma abstracção da classe, abstracção igualmente legítima, e, por esta mesma razão, o n-ésimo termo finito corresponderá sempre a um conjunto cardinal de n. Mas esta dupla abstracção não impede em nada o número inteiro finito de permanecer uno e de implicar a indissociável solidariedade das totalidades e da ordem."
                                                                              (Piaget, 1971, pp.218,219,220)


Olga Pombo:  opombo@fc.ul.pt