A Composição Aditiva dos Números e as Relações

Aritméticas de Parte para Todo

Primeira Fase

  • "(...) caracteriza-se pelo facto dos sujeitos não compreendem a igualdade dos dois conjuntos a serem comparados (...) (4 + 4) e (...) (7 + 1), nem a permanência da segunda totalidade através das mudanças de distribuição dos seus elementos." (Piaget, 1971, p.256,257).

  • "Do ponto de vista do mecanismo aditivo que nos interessa aqui, pode dizer-se que (...) a criança não compreende a compensação necessária das adições e das subtracções, ou seja, que acrescentando um certo número de elementos ao monte A', ela não espera ver diminuir de outro tanto o monte A." (Piaget, 1971, p.262).

  • "(...) à consciência das totalidades e consciência dos elementos, mas essas duas espécies de percepções sucedem-se sem se reunir, donde o carácter de sincronismo global das primeiras e de justaposição das segundas." (Piaget, 1971, p. 274).

  • "(...) o pensamento da criança permanece, portanto, irreversível, no sentido de que cada percepção constitui um momento particular do fluxo de sua experiência, sem procedimento estável de retorno, porque sem operações que permitam compor uma por meio das outras. É assim que os dois processos da coligação intuitiva e da enumeração funcionam um de cada vez, cada um eclipsando o outro, ou, se coincidem, neutralizam-se mutuamente." (Piaget, 1971, p.277).

Segunda Fase

  • "(...) a criança que inicia pelas mesmas reacções acaba por pouco a pouco observar (ou é acessível à objecção) que, se se tem 7>4, em compensação tem-se também 1<4 e que essas duas desigualdades talvez se compensem." (Piaget, 1971, p.258).

  • "(...) a criança toma consciência desse equilíbrio, mas unicamente no plano intuitivo, ou seja, fora das figuras não possuí outro meio para verificar as igualdades, nem, portanto, para prever os resultados das adições e subtracções." (Piaget, 1971, p.262,263).

  • "(...) a coordenação efectua-se, mas apenas no interior do campo das percepções, as quais se ampliam assim na direcção do pensamento: graças à correspondência termo a termo, a enumeração leva, com efeito, à coligação e reciprocamente, salvo quando a figura é destruída." (Piaget, 1971, p.277).

Terceira Fase

  • As "(...) operações numéricas de composição aditiva funcionam instantaneamente, sem que o sujeito tenha necessidade de proceder a coordenações intuitivas prévias." (Piaget, 1971, p.260,261).

  • "(...) chega a um manejo operatória das transferências e, consequentemente, a uma reversibilidade." (Piaget, 1971, p.263).

  • "(...) as operações ultrapassam o campo da percepção e atingem simultaneamente a reversibilidade completa nas suas composições." (Piaget, 1971, p.277).

 


"(...) a inclusão lógica de uma classe noutra faz surgir para a criança, no decorrer das duas primeiras fases da construção do número, uma dificuldade sistemática pelo facto de que, por falta de composição aditiva, ela não consegue considerar simultaneamente as partes e o todo. Um problema assim encontra naturalmente um seu equivalente no domínio das colecções numéricas, na qual a reunião aritmética das partes de um mesmo todo constitui uma das operações fundamentais que engendram o próprio número: a adição. Com efeito, diferentemente da adição das classes, que ignora a iteração (A + A = A), um número adicionado a si mesmo engendra um novo número (A + A = 2A)." (Piaget, 1971, p.254).




Olga Pombo:  opombo@fc.ul.pt