A Coordenação das Relações de Equivalência e a
Composição Multiplicativa dos Números
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"As relações de equivalência fundadas sobre a correspondência unívoca e recíproca "qualquer" ou "quantificante" são relações especiais, cuja descoberta e emprego supõem a aquisição de uma série de noções propriamente matemáticas, tais como a de um conjunto que se conserva, de seriação, de correspondência termo a termo etc. Já ao contrário, as composições das relações de equivalência constituiem um mecanismo tão geral que o seu manejo parece não supor mais que a lógica." A propriedade transitiva "(...) própria à relação de igualdade, é, ao mesmo tempo, a expressão de um raciocínio que empenha toda a estrutura formal do pensamento. Ele exprime tanto a igualdade ou equivalência de três classes quanto à coordenação de duas relações e aplica-se tanto a realidades matemáticas (sobre a designação incorrecta de "silogismos matemáticos") quanto a realidades qualitativas. " (Piaget , 1971, p.279).
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" (...) as crianças que fracassam na questão da composição das relações de equivalência são também aquelas a que falta a correspondência biunívoca e recíproca, enquanto que aquelas que têm sucesso nesta última conseguem, de saída, compor diversas equivalências entre si." (Piaget, 1971, p.280).
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"Não apenas o adulto e a criança após os 11-12 anos possuem o poder de raciocinar formalmente com rigor sobre proposições reconhecidas como falsas ou que não compreendem, mas ainda, e bem antes que seja adquirida esta mecânica formal, a criança tem o poder de se adaptar às palavras e às noções colectivas inerentes à linguagem ambiente: é assim que muitas crianças que permanecem incapazes de compreender que 10 flores saídas de 10 jarras são sempre equivalentes a essas 10 jarras, apertadas ou espaçadas, sabem, no entanto, contar essas flores até 10." (Piaget, 1971, p.284).
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"(...) constatamos que a equivalência por correspondência biunívoca e recíproca era uma equivalência de ordem multiplicativa. Existe, com efeito, uma grande diversidade de formas de equivalência e faz parte do papel de uma psicologia genética tanto quanto de uma logística operatória, interessadas em colocar em evidência as articulações reais do pensamento, distinguir esta relações variadas, em vez de procurar confundi-las. (...) Precisemos unicamente que, no caso das operações multiplicativas, como no das adições, a composição qualitativa das classes não se constitui no plano operatório antes das dos números, mas ao mesmo tempo. Não existe uma fase da multiplicação lógica e uma fase da multiplicação aritmética: no decurso de uma primeira fase, nenhuma dessas composições é possível; no decorrer da segunda, ambas se esboçam num plano intuitivo, mas sem conclusão operatória e, no decurso da terceira, ambas se constituem em operações propriamente ditas, donde o sucesso simultâneo das diversas provas estudadas (...) e a generalização imediata da multiplicação, assim que é descoberta." (Piaget, 1971, pp.298,299).
