MATEMÁTICA
Foi na primeira fase da sua vida que Henri Poincaré desenvolveu admiráveis trabalhos acerca das curvas definidas por equações diferenciais, dos grupos de equações diferenciais lineares, das funções analíticas em geral, das transcendentes inteiras, das funções q , e por fim das funções que denominou fuchsianas e kleineanas e que passaram a ser denominadas automorfas. Vejamos então, a título de curiosidade, como surgiram.
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O professor Klein (1849 - 1925) de Goettingen e o professor Fuchs (1833 - 1902) de Berlim estavam na pista de funções que voltassem a tomar o mesmo valor, através de uma substituição linear pertencente a um determinado grupo. Mas, antes mesmo de eles chegarem à definição dos grupos em questão e à formulação das funções correspondentes, este problema foi totalmente resolvido por Poincaré. A ele se deve a descoberta de que estas funções f(z) voltam a tomar o mesmo valor quando a variável z sofre uma substituição da forma: (az+b)/(cz+d) em que a,b,c,d são constantes determinadas, formando assim um grupo descontínuo: f((az+b)/(cz+d))=f(z). Poincaré, para reconhecer os esforços do professor Fuchs, deu generosamente a algumas destas funções o nome de funções fuchsianas (a figura ao lado mostra uma representação destas funções). Do mesmo modo, e como os trabalhos do professor Klein não ficavam aquém dos de Fuchs, Poincaré atribuiu o nome de kleineanas às funções de outro grupo. Contudo, essas denominações não permaneceram e estas funções, hoje em dia, são denominadas automorfas. |
Apenas com 27 anos de idade,Poincaré estabeleceu então a teoria geral das funções automorfas, dando a sua representação por séries. Esta descoberta deu-lhe a chave do mundo algébrico.
Foi igualmente nesta época que desenvolveu as suas investigações de aritmética e de álgebra acerca dos números complexos, das formas quadráticas, das formas cúbicas ternárias e dos determinantes de ordem infinita.
Posteriormente, introduziu funções chamadas zetafuchsianas definidas como sendo o quociente de uma série de termos racionais e de uma função tetafuchsiana. Este resultado permitiu a Poincaré chegar às soluções das equações diferenciais lineares cujos coeficientes são funções algébricas de variável independente.
De entre os trabalhos posteriores de Poincaré acerca da teoria das funções salienta-se Sur un théoème de la théorie générale des fonctions, publicado em 1883, no qual ele enuncia o seguinte teorema fundamental:
| Dada uma
função analítica qualquer y de x com determinantes múltiplos, é sempre possível
determinar uma variável z de modo a que x e y se tornem funções uniformes de z.
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Poincaré conseguiu também estabelecer que a determinação completa de uma função analítica pode sempre ser obtida com base num conjunto numerável de elementos de funções e, por conseguinte, que o conjunto dos valores da função para todo o ponto do seu domínio é sempre numerável.
De referir ainda que Poincaré é considerado o fundador da Teoria dos Sistemas Lineares compostos por um número infinito de equações a um número infinito de incógnitas. Com efeito, foi o primeiro a debruçar-se sobre os determinantes infinitos e os seus critérios de convergência.
Refiram-se ainda os trabalhos consagrados à Teoria dos Números na obra Sur un mode nouveau de représentation géométrique des formes quadratiques définies ou indéfinies. Foi aí que definiu a aritmética com base na qual ele iria desenvolver geometricamente, de um modo novo e original, a teoria que Gauss (1777 - 1855) tinha fornecido para a composição das formas quadráticas.
Para concluir, Poincaré publicou um grande número de artigos sobre topologia tratando com grande maestria técnica e plena compreensão todos os campos pertinentes da matemática pura e aplicada. Nenhum matemático do século XIX, com a possível excepção de Riemann (1826 - 1866), tem tanto para dizer à geração actual. As nossas teorias modernas relacionadas com a relatividade, a cosmogonia, as probabilidades foram todas influenciadas de um modo vital pelos trabalhos matemáticos.