UMA QUESTÃO PARA A TOPOLOGIA

   Eis a ideia de Poincaré. Suponhamos que num dado momento o sistema está num determinado estádio e que, um certo tempo depois, regressou a esse mesmo estádio. Todas as posições e velocidades são exactamente as mesmas que antes, simultaneamente. Então a unicidade de soluções das equações diferenciais implica que o sistema deverá repetir ad infinitum o movimento que o fez regressar ao estado inicial, ou seja, o movimento é periódico. Imaginemos que o estado do sistema é descrito pelas coordenadas de um ponto num estado de fases com um enorme número de dimensões. À medida que o sistema evolui no tempo, este ponto move-se, traçando uma curva. Para regressar a um mesmo estádio a curva deve fechar-se sobre si própria.

    Imaginemos então toda uma superfície de estados iniciais e sigamos a evolução de cada um até regressar e intersectar de novo a superfície. Se conseguirmos encontrar algum estado que regresse exactamente ao ponto de partida, teremos descoberto uma solução periódica.

    Hoje chamamos ainda a essa superfície uma secção de Poincaré. A sua grande virtude é a de ignorar uma grande quantidade de fenómenos confusos, mas desnecessários, simplificando assim o problema de observar a dinâmica.