Indução e indução matemática. A indução é o processo de descoberta de leis gerais pela observação e combinação de exemplos particulares. É usada em todas as ciências, mesmo na matemática. A indução matemática é usada apenas na matemática e para provar teoremas de um certo tipo. É pouco feliz que estas designações sejam tão próximas porque não há muita ligação lógica entre os dois processos. Há, no entanto, algumas ligações práticas; o facto de, muitas vezes, se usarem os dois métodos conjuntamente. Vamos ilustrar ambos os métodos por intermédio do mesmo exemplo.

Polya critica a semelhança de designações dadas ao processo da indução matemática e da indução utilizada em todas as outras ciências. Segundo o autor, esta proximidade não é conveniente já que sugere que se está a falar de um mesmo processo, o que é falso. 

O texto que se segue pretende mostrar essa diferença por intermédio de um exemplo.

e, reconhecendo os cubos e os quadrados, podemos dar ao facto observado a forma mais interessante:

.

Como é que isto acontece? Será que, com frequência, uma tal soma de cubos sucessivos é um quadrado?

Ao colocar esta pergunta procedemos como o naturalista que, impressionado por uma planta curiosa ou por uma formação geológica surpreendente, concebe uma questão geral. A nossa questão geral está relacionada com a soma de cubos sucessivos

.

Fomos levados a ela pelo “exemplo particular” n=4.

Polya apresenta um primeiro exemplo.

 Através do caso particular  Polya coloca a seguinte hipótese: será que a soma dos primeiros n cubos é um quadrado?

O autor tenta seguir os mesmos passos que o naturalista seguiria para provar a existência de uma lei geral. 

Como o naturalista, investiga os casos especiais n = 1, 2, 3 e 5, sendo que já conhecia o caso n=4.

Arranjados “elegantemente”, ou seja, dispostos de um determinado modo, Polya constata que todos estes casos verificam a sua hipótese inicial.  

É difícil acreditar que todas estas somas de cubos consecutivos sejam quadrados por mero acaso. Do mesmo modo, o naturalista teria poucas dúvidas de que a lei geral sugerida pelos casos especiais até então observados não fosse correcta; a lei geral é quase provada por indução. O matemático expressa-se com maior reserva embora fundamentalmente pense da mesma forma. Ele diria que o teorema seguinte é fortemente sugerido por indução:

A soma dos primeiros n cubos é um quadrado.

Surge aqui surge a diferença entre os dois processos em causa. Para o naturalista a lei geral é quase provada por indução. Ora, Polya defende que a matemática tem uma fase experimental muito parecida com as ciências da natureza. No entanto, para um matemático a observação de alguns casos particulares arranjados elegantemente apenas lhe permite dizer que o teorema é fortemente sugerido, mas não permite provar a sua verdade. 

2. Fomos levados a conjecturar uma lei notável, e de alguma forma misteriosa. Porque devem estas somas de sucessivos cubos ser quadrados? Ora, aparentemente, são de facto quadrados.

O que é que o naturalista faria em tal situação? Iria examinar a sua conjectura. Ao fazer isso, podia seguir várias linhas de investigação. Poderia acumular mais evidências experimentais. Pela nossa parte, se desejarmos fazer o mesmo, temos que testar os próximos casos, n=6, 7, .... O naturalista podia também rever os factos cuja observação levou à conjectura; compará-los cuidadosamente, desencantar alguma regularidade mais profunda, alguma analogia suplementar. Sigamos também esta linha de investigação.

Vamos rever os casos n = 1, 2, 3, 4, 5 que organizámos na nossa tabela. Porque razão todas estas somas são quadrados? E que podemos dizer acerca destes quadrados? As suas bases são 1, 3, 6, 10, 15. E acerca destas bases? Existirá alguma regularidade mais profunda, alguma analogia suplementar? De qualquer modo, não parecem aumentar de forma muito irregular. Como é que aumentam? A diferença entre dois termos sucessivos desta consequência é ela própria crescente,  

.

Mais uma vez, Polya defende que o processo de indução matemática é, de início, muito semelhante à indução utilizada pelo naturalista. 

De facto, para que se possa provar a hipótese de que o teorema é verdadeiro, tanto o naturalista como o matemático iriam examinar mais casos particulares, testando-os e comparando-os cuidadosamente.

 É também este o caminho que segue Polya, revendo os dados obtidos e procurando encontrar "alguma regularidade mais profunda", alguma "analogia surpreendente".

Ora, estas diferenças são notavelmente regulares. Podemos ver aqui uma surpreendente analogia entre as bases daqueles quadrados, podemos ver uma notável regularidade nos números 1, 3, 6, 10, 15:  

 Se esta regularidade é geral (e o contrário é difícil de acreditar) o teorema de que suspeitámos toma uma forma mais precisa:

É, para n=1, 2, 3,...

Polya encontra de facto uma regularidade e uma analogia de que não havia suspeitado

.

O que lhe permite induzir a lei geral: a soma dos primeiros n cubos, é igual ao quadrado da soma dos primeiros n naturais.

O facto de Polya encontrar esta lei geral a través da observação de analogias, aponta para a forma como este autor vê os seres matemáticos.

 3. A lei que acabamos de enunciar foi encontrada por indução, e a maneira pela qual foi encontrada dá-nos uma ideia do que é a indução, ideia essa que é necessariamente unilateral e imperfeita mas não distorcida. A indução tenta encontrar regularidade e coerência para além das observações. Os seus instrumentos mais notáveis são a generalização, a especialização, a analogia. A tentativa de generalização nasce do esforço para compreender os factos observados; é baseada na analogia e testada por casos especiais suplementares.

Abstemo-nos de mais explicações sobre a indução acerca da qual há grande discordância entre os filósofos. Mas é necessário acrescentar que muitos resultados matemáticos foram, primeiro, achados por indução e, mais tarde, provados. A matemática rigorosa é uma ciência dedutiva sistemática mas a matemática no seu fazer é uma ciência indutiva experimental.

Esta lei foi descoberta através da constatação da existência de “regularidades e coerências para além das observações”.  É neste processo que consiste a  indução.

Assim, apesar de a matemática ser uma ciência dedutiva (que  do conhecimento de regras gerais, retira casos particulares), as descobertas matemáticas começam por ser feitas por um processo indutivo, de tipo experimental (em que do conhecimento de vários casos particulares, se retiram regras gerais).

 4. Na matemática, tal como numa ciência física, podemos utilizar a observação e a indução para descobrir leis gerais. Mas há uma diferença. Nas ciências físicas, não há nenhuma autoridade superior à observação e à indução; na matemática essa autoridade existe: a prova rigorosa.

Depois de ter trabalhado algum tempo experimentalmente pode ser bom mudar de ponto de vista. Vamos ser rigorosos. Descobrimos um resultado interessante mas o raciocínio que nos levou até esse resultado era meramente plausível, experimental, provisório, heurístico. Vamos agora tentar estabelecer um resultado de forma definitiva por intermédio de uma prova rigorosa.

Estamos agora perante um “problema para provar”: provar ou desaprovar o resultado enunciado anteriormente (ver 2).

Há uma pequena simplificação. Sabemos que  

.

De qualquer modo, isto é fácil de verificar. Tome-se um rectângulo com lados n e n + 1, e divida-se esse rectângulo em duas metades com uma linha em zigzag como na Figura 1^a que mostra o caso n =  4. Cada uma das metades tem a “forma de uma escada”  e a sua área tem expressão 1 + 2 +  ... + n; para n = 4 é 1 + 2 + 3 + 4 (ver Figura 1b). Ora, a área total do rectângulo é n (n + 1) da qual a área “em forma de uma escada” é metade. Isto prova a fórmula.

Podemos transformar o resultado que encontramos por indução em

.

Polya volta à comparação feita anteriormente entre naturalistas e matemáticos.

Enquanto que as ciências físicas utilizam a observação e a indução para descobrir a lei geral, na matemática existe uma “autoridade superior" à observação e à indução. 

Nas ciências físicas, a observação e a indução dão origem a resultados meramente plausíveis, experimentais, provisórios e heurísticos. Em matemática  é  necessário e possível provar rigorosamente o resultado encontrado por indução.

Ficamos assim, com aquilo que Polya designa por problema para provar, ou seja, um problema que devemos mostrar se é verdadeiro ou falso, através de uma prova rigorosa.

De notar que, para além deste tipo de problemas, Polya considera ainda problemas para descobrir, ou seja, problemas cujo o objectivo é encontrar um certo objecto, designado por incógnita do problema.

5. Se não tivermos qualquer ideia de como provar este resultado, podemos pelo menos testá-lo. Vamos testar o primeiro caso que não testamos ainda, o caso n = 6. Para este valor, a fórmula seria

e, feito o cálculo , esta igualdade acaba por ser verdadeira, sendo os dois lados iguais a 441.

Mas, podemos testar a fórmula de forma ainda mais efectiva. Muito provavelmente, a fórmula é geralmente verdadeira, isto é, verdadeira para todos os valores de n. Será que continua verdadeira quando passamos de algum valor de n para o valor seguinte n + 1? Juntamente com a fórmula acima escrita devemos também ter

.

Há uma verificação simples. Subtraindo a fórmula escrita acima, obtemos

 . 

No entanto, isto é simples de verificar. O lado direito pode ser escrito como

 .

 .

 Quer isto dizer que a nossa fórmula, encontrada experimentalmente, passou um teste vital.

Vejamos claramente o que significa este teste. Verificámos para além de qualquer dúvida que

 . 

Não sabemos ainda se

 .

 é verdadeira. Mas se soubéssemos que era verdade, podíamos inferir, adicionando à equação que verificámos para além de qualquer dúvida, que

.

é também verdadeira, sendo que esta é a mesma asserção que se obtem para o próximo inteiro n + 1 (ou seja, é a asserção que se obtem quando se substitui n por n + 1). Sabemos agora realmente que a nossa conjectura é verdadeira para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Por virtude de que acabámos de dizer, a conjectura, ao ser verdadeira para n = 6, tem também de ser verdadeira para n = 7; ao ser verdadeira para n = 7 é verdadeira para n = 8; ao ser verdadeira para n = 8 é verdadeira para n = 9; e assim sucessivamente. Ou seja, ao verificar-se para todo o n, está provado ser verdadeira em geral.

Polya prova rigorosamente o resultado encontrado por indução através da indução matemática. Começa por verificar o que se passa para alguns casos particulares ainda não testados. 

Posteriormente, supõe que o resultado é verdadeiro para um certo valor de n e vai provar que continua verdadeiro para o valor seguinte n+1.

 6. A prova precedente pode servir como padrão em muitos casos semelhantes. Quais são as linhas essenciais desse padrão?

A asserção que queremos provar tem que ser dada inicialmente de forma precisa.

A asserção tem que depender de um inteiro n.

A asserção deve ser suficientemente “explícita” para que tenhamos alguma possibilidade de testar se permanece verdadeira na passagem de n para o próximo inteiro n + 1.

Se tivermos efectivamente sucesso ao testá-la, podemos ser capazes de usar a nossa experiência, ganha no processo de teste, para concluir que a asserção tem de ser verdadeira para n + 1 desde que seja verdadeira para n. Quando estamos tão longe é suficiente saber que a asserção é verdadeira para n = 1; portanto, segue para n = 2; portanto segue para n = 3, e assim sucessivamente. Passando de qualquer inteiro para o seguinte, provamos a asserção em geral.

Polya explicita os passos necessários ao processo de prova matemática rigorosa. 

O resultado que se quer provar tem que ser apresentado de forma precisa e depender de um inteiro n. 

Tem que se começar por testar o resultado e posteriormente verificar que o resultado tem de ser verdadeiro para n+1 desde que o seja para n.

Este processo é usado tantas vezes que merece um nome. Podíamos chamar-lhe “prova de n para n + 1” ou, ainda e mais simplesmente, “passagem ao próximo inteiro”. Infelizmente, o termo técnico aceite é “indução matemática”. Designação que resulta de uma circunstância casual. A asserção precisa que provámos pode vir de qualquer fonte, e é irrelevante, do ponto de vista lógico, saber qual é a fonte. Ora, em muitos casos, tal como no caso que discutimos aqui em detalhe, a fonte é a indução, ou seja, a asserção é encontrada experimentalmente. Deste modo, a prova surge como um complemento matemático à indução; o que explica o nome.

Polya volta a criticar a proximidade das designações entre indução e indução matemática. 

No entanto, apresenta um motivo para tal designação: é que a indução matemática começa por ser indução e apenas se torna rigorosa com o complemento matemático da prova.

7. Eis um outro ponto, um tanto subtil, mas importante para quem quiser encontrar provas por si próprio. No que precede, encontrámos duas asserções diferentes por observação e indução, uma após a outra, a primeira inferior a 1, a segunda inferior a 2; a segunda foi mais precisa do que a primeira. Ao lidar com a segunda asserção, encontramos a possibilidade de verificar a passagem de  n para n + 1, e assim somos capazes de descobrir uma prova por “indução matemática”. Ao lidar com a primeira asserção, e ignorar a precisão que lhe é adicionada pela segunda, deveríamos quase não ter sido capazes de encontrar tal prova. De facto, a primeira asserção é menos precisa, menos “explícita”, menos “palpável”, menos acessível ao teste e confirmação que a segunda. Passar da primeira para a segunda, da menos precisa para a mais precisa, foi um preparativo importante para a prova final.

Polya apresenta agora um exemplo em que é mais simples utilizar uma asserção mais complexa do que uma asserção aparentemente mais acessível.

    Esta circunstância tem um aspecto paradoxal. A segunda asserção é mais forte, e implica imediatamente a primeira, contudo a algo “confusa” primeira asserção pode, com alguma dificuldade, implicar a segunda mais “simples e curta”. Apesar disso, o teorema mais forte é mais fácil de manusear que o mais fraco; é este o paradoxo da invenção.

O autor designa por Paradoxo da Invenção o facto de ser possível que, quanto mais ambicioso for o plano, maiores sejam as suas probabilidades de sucesso.

Segundo Polya, quando passamos de um problema para outro aparentemente mais complexo, muitas vezes verificamos que é mais fácil lidar com o novo problema. É possível que seja mais fácil responder a muitas perguntas do que a uma só. Aquilo que aparentemente é mais complexo pode ser mais simples de resolver do que aquelo que é aparentemente mais simples.

Formular equações é como traduzir de uma língua para outra. Esta comparação, usada por Newton na sua Arithmetica Universalis, pode ajudar a clarificar a natureza de certas dificuldades muitas vezes sentidas por alunos e professores

Polya compara a formulação de equações com a tradução entre duas línguas.

1. Formular equações significa expressar em símbolos matemáticos uma condição que está formulada em palavras; é fazer a tradução da língua natural para a língua de fórmulas de matemáticas. As dificuldades que surgem na formulação de equações são dificuldades de tradução.

Para fazer a tradução de uma frase de Inglês para Francês duas coisas são necessárias. Primeiro compreender completamente a frase em Inglês. Em seguida, ter familiaridade com as formas de expressão peculiares da língua Francesa. A situação é muito semelhante quando tentamos expressar em símbolos matemáticos uma condição proposta em palavras. Primeiro, é necessário compreender completamente a condição. A seguir, ter familiaridade com as formas de expressão matemática.

Uma frase em Inglês é relativamente fácil de traduzir para Francês se puder ser traduzida palavra por palavra. Mas há expressões Inglesas que não pode ser traduzidos para Francês palavra por palavra. Se a frase contém essas expressões, a tradução torna-se difícil; é então necessário prestar menor atenção às palavras separadamente, e maior atenção ao significado completo; antes de traduzir a frase, podemos ter que a reorganizar.

O autor vai expor a forma de estabelecer matematicamente equações, partindo da linguagem natural em que inicialmente são apresentados.

Tal processo é apenas uma tradução entre duas linguagens, podendo surgir dificuldades de tradução na formulação de equações.

Na verdade, para traduzuir de uma língua para outra, é necessário conhecer as duas línguas. Da mesma maneira, para formular uma equação é necessário conhecer a língua em que esta é apresentada de modo a perceber bem a condição e também ter familiaridade com as expressões matemáticas.

O processo é muito semelhante na formulação de equações. Em casos fáceis, a frase verbal divide-se quase automaticamente em símbolos matemáticos. Em casos mais difíceis, a condição tem partes que não podem ser imediatamente traduzidas para símbolos matemáticos. Se for este o caso, é necessário prestar menor atenção à frase verbal, e concentrarmo-nos mais no significado. Antes de se começarem a escrever fórmulas, podemos ter que reorganizar a condição, e, enquanto o fazemos, é necessário estar atento aos recursos da notação matemática.

Em todos os casos, fáceis ou difíceis, há que compreender a condição, para separar as várias partes da condição, e para perguntar: Como é possível escrevê-las? Em casos fáceis, conseguimos sem hesitação dividir a condição em partes que podem ser escritas em símbolos matemáticos; em casos difíceis, a divisão apropriada da condição é menos óbvia.

A exposição precedente deve ser lida novamente após o estudo dos exemplos que se seguem.

Nos casos mais simples, basta fazer uma tradução literal, palavra por palavra. Nos casos mais complexos, é necessário ter atenção ao significado total da frase antes de a traduzir. Em alguns casos é mesmo necessário reorganizá-la. 

Em todos os casos, é necessário compreender a afirmação inicial de modo a separar as suas várias partes.

2. Encontre duas quantidades cuja soma é 78 e cujo produto é 1296.

Dividimos a página por uma linha vertical. De um lado, escrevemos a frase verbal separada em partes apropriadas. Do outro lado, escrevemos símbolos algébricos, em paralelo com a parte correspondente da frase verbal. A original está à esquerda, a tradução para símbolos à direita. 

Polya apresenta um exemplo bastante simples (encontrar duas quantidades sendo dadas inicialmente a soma e produto dessas mesmas quantidades) que é possivel dividir e traduzir quase imediatamente em linguagem matemática. 

Para efectuar a tradução, Polya sugere que se divida a página por uma linha vertical. Do lado esquerdo, escreve-se a frase verbal separada por partes apropriadas, do lado direito, escreve-se a linguagem algébrica.

3. Encontre a largura e a altura de um prisma regular com base quadrada, sendo dado o volume, 63 medidas cúbicas, e a área da superfície, 102 medidas quadradas.

Quais são as incógnitas? O lado da base, digamos x, e a altura do prisma, digamos y.

Quais são os dados? O volume, 63, e a área, 102.

Qual é a condição? O prisma cuja base é um quadrado de lado x e cuja altura é y tem que ter volume 63 e área 102.

Separar as várias partes da condição. Há duas partes, uma relativa ao volume, a outra à área.

Dificilmente hesitaremos em dividir a condição completa em apenas duas partes, mas não podemos escrever essas partes “imediatamente”. Temos que saber como calcular o volume e as várias partes da área. No entanto, se soubermos toda essa geometria, podemos facilmente repor ambas as partes da condição para que a tradução para equações seja fiável. Escrevemos então no lado esquerda da página uma forma essencialmente rearranjada e exposta do problema, pronta para tradução para linguagem algébrica.

De um prisma regular de base quadrada
encontre o lado da base	x
e a altura.	y
Primeiro. O volume é dado.	63
A área da base que é um quadrado de lado x
e a altura	y
determine o volume que é o seu produto.
Segundo. A área da superfície é dada.	102
A superfície consiste em dois quadrados de lado x
e de quatro rectângulos, cada um com base x e altitude y,	4xy
cuja a soma é a área.	.

Neste exemplo a complexidade é um pouco acrescida: é pedido que se encontre a largura e a altura de um certo prisma sendo dados o volume e a área da superfície desse prisma. Devido a esse acréscimo de complexidade, neste caso, a tradução do  problema inicial para linguagem algébrica é feita de uma forma mais cuidadosa do que no caso anterior. Aqui é necessário seguir mais explicitamente os passos que Polya considera que compõem a resolução de qualquer problema, a saber:

 1º. compreensão do problema – tem que se começar por perceber claramente o que é pedido,   quais os dados que são facultados e a sua relação com a incógnita;

2º. estabelecimento de um plano – é necessário planear um caminho a seguir para a resolução do problema;

3º. execução do plano – que consiste em pôr em prática o plano estabelecido anteriormente;

4º. Retrospecção – após obtido um resultado, é necessário verificar se este responde ao que se pretendia, revendo e discutindo tudo o que foi feito anteriormente.

De notar que nos exemplos aqui descritos apenas é efectuada a compreensão do problema, já que é nesta fase que se faz a tradução do enunciado do problema para linguagem algébrica.

4.  Sendo dada a equação de uma linha recta e as coordenadas de um ponto, encontre o ponto que é simétrico ao ponto dado em relação à linha recta dada.

Este é um problema de geometria analítica plana.

Qual é a incógnita? Um ponto, com coordenadas, digamos p, q.

O que é dado? A equação de uma linha recta, digamos y = mx + n, e um ponto, com coordenadas, digamos a, b.

Qual é a condição? Os pontos (a, b) e (p, q), são simétricos um ao outro relativamente à linha y = mx + n.

Chegamos agora à dificuldade essencial que consiste em dividir a condição em partes que possam ser expressas na linguagem da geometria analítica. A natureza desta dificuldade tem que ser bem compreendida. A decomposição da condição em partes pode ser logicamente correcta e todavia inútil. O que precisamos é de uma decomposição em partes que sejam adequadas para expressão analítica. De modo a encontrar tal decomposição devemos voltar à definição de simetria, mas mantermo-nos atentos aos recursos da geometria analítica. O que se quer dizer com simetria relativamente a uma linha recta? Que relações geométricas podemos expressar unicamente na geometria analítica? Concentremo-nos na primeira pergunta, sem esquecer a segunda. Embora, eventualmente, possamos encontrar a decomposição que vamos enunciar.

O ponto dado	(a, b)
e o ponto pedido	(p, q)
estão tão relacionados que primeiro, a linha que os une é perpendicular à linha dada, e  a seguir, eles estão em lados opostos da linha dada mas estão a igual distância desta.

Por fim, Polya apresenta um exemplo mais complexo que os dois anteriores: considerando a equação de uma linha recta e as coordenadas de um ponto, é pedido que se encontre o ponto simétrico ao considerar inicialmente, em relação à linha recta dada.

Também aqui é necessário executar cuidadosamente a compreensão do problema. No entanto, isto não basta já que a divisão do problema em partes não é imediata. É necessário compreender muito bem o enunciado e as definições nele contidas para que a decomposição seja feita em partes adequadas à tradução para a linguagem algébrica.

Saliente-se, a título de comentário final desta parte do texto, que a preocupação que Polya revela em traduzir correctamente qualquer língua para a linguagem algébrica, dá conta da enorme importância que atribui à linguagem Matemática.

O que é porventura mais uma pista para a compreensão da forma como Polya pensa os seres matemáticos.

Voltando atrás. Se quisermos compreender o comportamento humano  devemos compará-lo com o comportamento animal. Os animais também “têm problemas” e “resolvem problemas”. A psicologia experimental tem feito progressos essenciais nas últimas décadas, ao explorar as actividades de “resolução de problemas” de vários animais. Não podemos discutir aqui estas investigações mas podemos descrever em esboço uma experiência simples e instrutiva de tal modo que a nossa descrição sirva como um comentário ao método de análise, ou método de “voltar atrás”. ...¹

Polya  estabelece uma analogia, na sua opinião muito importante, entre o comportamento humano e animal na resolução de problemas. 

Para tal, vai utilizar um exemplo relativo ao que ele designa por método de análise ou método de voltar atrás.

1. vamos tentar descobrir uma resposta à seguinte questão traiçoeira: Como se pode trazer do rio exactamente seis quartos de água quando temos apenas dois recipientes, um balde de quatro quartos e um balde de nove quartos, para medir?

Visualizemos com clareza as ferramentas dadas com que temos que trabalhar, os dois recipientes. (O que é dado?) Imaginemos dois recipientes cilíndricos com bases iguais cuja as altitudes são de 9 a 4, ver Figura 2. Se, ao longo da superfície lateral de cada recipiente, houvesse uma escala de linhas horizontais igualmente separadas com as quais pudéssemos dizer a altura da linha da água, o nosso problema seria fácil. No entanto, essa escala não existe e, por isso, estamos ainda longe da solução.

Não sabemos ainda como medir exactamente seis quartos. Será possível medir outra coisa? (Se não conseguirmos resolver o problema proposto tentaremos resolver primeiro algum problema relacionado. Será possível fazer derivar algo de útil a partir dos dados?) Façamos alguma coisa, vamos brincar um pouco. Poderíamos encher o recipiente maior na sua capacidade total e despejar tanto quanto for possível para o recipiente mais pequeno; então teríamos 5 quartos. Poderíamos também obter 6 quartos? Aqui estão de novo os dois recipientes vazios. Poderíamos também ...

Polya apresenta um exemplo do comportamento humano na resolução de um determinado problema: pretende-se obter seis quartos de água de um rio, tendo dois recipientes, um com capacidade de quatro quartos e outro com capacidade de nove quartos, para medir.

Para tentar resolver este problema, o autor começa por imaginar que, se na superfície lateral dos recipientes existisse uma escala com a qual se pudesse medir a altura da linha de água, o problema seria fácil. No entanto, como tal escala não existe, Polya propõe fazer o que designa por andar para a frente, ou seja, começar com os dois recipientes vazios, fazer tentativas para chegar à quantidade de água pretendida e, caso não se tenha sucesso, voltar a despejar os recipientes e fazer novas tentativas, caminhando assim dos dados (capacidade dos recipientes) para o desconhecido (modo de obter a quantidade de água pretendida).

Entenda-se que, por voltar atrás, Polya se refere a recuar, ou seja, resolver um problema a partir do objectivo que se pretende atingir e caminhando depois para trás, de modo a atingir as condições dadas inicialmente.

       Estamos agora fazer o que faz a maioria das pessoas quando confrontadas com este puzzle. Começamos com dois recipientes vazios, tentamos isto e aquilo, esvaziamos e enchemos, e quando não temos sucesso, começamos de novo, tentando outra coisa. Estamos a andar para a frente, a partir da situação dada inicialmente em direcção à situação final desejada, dos dados para o desconhecido. Após muitas tentativas, podemos, acidentalmente, ter sucesso.

A maioria das pessoas anda para a frente, isto é, vai tentando resolver o problema por tentativa e erro.

2. No entanto, pessoas excepcionalmente capazes, ou pessoas que tiveram hipótese de aprender nas suas aulas de matemática algo mais do que meras operações de rotina, não despendem tanto tempo nestas tentativas. Contornam-nas, e começam a voltar atrás.

Que temos que fazer? (Qual é a incógnita?) Visualizemos a situação final que pretendemos resolver tão claramente quanto possível. Imaginemos que temos, diante de nós, o contentor maior com exactamente 6 quartos lá dentro e o recipiente mais pequeno vazio como na Figura 3. (Comecemos do que é pedido e assumamos aquilo que julgamos já encontrado, diz Pappus.)

De que situação precedente poderíamos obter a situação final desejada, que se vê na Figura 3? ( Vamos investigar qual o antecedente do qual poderá derivar a situação final desejada, diz Pappus.) Podíamos, com certeza, encher o recipiente maior totalmente, ou seja, 9 quartos. Mas então deveria se possível tirar exactamente três quartos. Para fazer isto . . . teríamos que ter apenas um quarto no recipiente menor! É essa a ideia. Ver Figura 4.

(O passo que acabámos de completar não é fácil. Poucas pessoas são capazes de o fazer sem  hesitação. De facto, reconhecendo a importância deste passo, somos capazes de prever um esboço da solução.)

Como podemos atingir a situação que acabámos de encontrar  e que está ilustrada na Figura 4? (Vamos investigar de novo qual poderia ser o antecedente desse antecedente.) Uma vez que a quantidade de água no rio é, supostamente, ilimitada, a situação da Figura 4 alcança uma quantidade semelhante à próxima na Figura 5

ou à próxima na Figura 6.

É fácil reconhecer que, se qualquer das situações nas Figuras 4, 5, 6 for obtida, qualquer outra pode também ser obtida, mas não é tão fácil atingir a Figura 6, a menos que a tenhamos visto antes, que a tenhamos encontrado acidentalmente numa das nossas tentativas iniciais. Brincando com os dois recipientes, podemos ter feito algo semelhante e, agora, no momento certo, lembramo-nos que a situação da Figura 6 pode apresentar-se como é sugerido pela Figura 7: Enchemos o recipiente totalmente e retiramo-lhe quarto quartos para o recipiente menor e depois para o rio, duas vezes sucessivas. 

Chegamos assim, eventualmente, a algo que já se sabia (estas são as palavras de Pappus) e seguindo o método de análise, andar para trás, descobrimos a sequência apropriada de operações.

É verdade! Descobrimos a sequência apropriada por ordem inversa. Tudo o que resta fazer é inverter o processo e começar a partir do último ponto que atingimos na análise (como diz Pappus). Primeiro, realizamos a operação sugerida pela Figura 7 e obtemos a Figura 6; depois, passamos para a Figura 5, depois para a Figura 4, e finalmente para a Figura 3. Refazendo os nossos passos, conseguimos finalmente encontrar o que era pedido.

No entanto, nem todas as pessoas seguem o processo de andar para a frente. Algumas pessoas excepcionalmente capazes, ou que aprenderam matemática, contornam as dificuldades inerentes a andar para a frente e utilizam o processo de voltar atrás. Estas pessoas, partem da situação final que se pretende atingir e tentam perceber qual teria que ser o passo anterior, e assim, sucessivamente, até atingirem  a situação inicial, isto é, até terem os dois recipientes vazios. Após este processo que, como recorda Polya, Pappus aconselha, basta ordenar de forma inversa os diversos passos realizados para obter a solução do problema inicial.

3. A tradição grega atribuiu a Platão a descoberta do método de análise. A tradição pode não ser completamente correcta, mas, mesmo que o método não tenha sido inventado por Platão, a verdade é que alguns sábios gregos julgaram necessário atribuir a sua invenção a um génio filósofo.

Sem dúvida que há alguma coisa neste método que não é superficial. Há uma certa dificuldade psicológica em dar a volta, em afastarmo-nos do objectivo, em trabalhar para trás, em não seguir o caminho directo para o fim desejado. Quando descobrimos a sequência de operações apropriadas, a nossa mente tem que preceder de forma exactamente inversa à performance actual. Há uma espécie de repugnância psicológica em relação a esta ordem inversa, o que pode impedir que um bom aluno perceba o método este se não for apresentado cuidadosamente.

A descoberta do método de análise é atribuída a Platão, Polya considere que esta paternidade pode ter sido dada apenas por este ser um método digno de um grande génio. 

De facto,  segundo Polya este é um método que comporta uma certa dificuldade psicológica já que implica caminhar no sentido oposto ao objectivo final.

E, no entanto, não é necessário um génio para resolver um problema concreto trabalhando para trás; qualquer pessoa consegue fazê-lo com um pouco de senso comum. Concentremo-nos no resultado desejado, visualizemos a posição final em que gostaríamos de estar. De que posição precedente poderíamos chegar lá? É natural colocar esta questão e, ao colocá-la, estamos já a trabalhar para trás. Problemas bastantes simples podem naturalmente levar a trabalhar para trás.

No entanto, qualquer pessoa o consegue realizar.

     Trabalhar para trás é um procedimento de senso comum ao alcance de qualquer indivíduo, pelo que não é difícil duvidar que tenha sido praticado por matemáticos e não matemáticos anteriores a Platão. O que alguns sábios gregos podem ter tido em consideração apresentando este método como um resultado digno do génio de Platão é a generalização do procedimento e a afirmação de que este método é uma operação útil tanto na resolução de problemas matemáticos como de problemas não matemáticos.

Apesar de se considerar Platão como o descobridor deste método, não restam dúvidas de que terá sido utilizado por matemáticos anteriores a este.

O método de análise é útil nas resoluções tanto de problemas matemáticos como de problemas não matemáticos.

4. Viremo-nos agora para a experiência psicológica, isto se a transição de Platão para cães, galinhas, e chimpanzés não for demasiada bruta. Uma vedação forma três lados de um rectângulo mas deixa aberto o quarto lado, como se vê na Figura 8. Colocamos um cão de um lado da vedação, no ponto D e alguma comida do outro lado, no ponto F. O problema é muito fácil para o cão. Ele pode tomar primeiro o caminho como se se dirigisse directamente para a comida, mas depois, rapidamente, dá a volta sobre si mesmo, vai até ao fim da vedação e, correndo sem hesitação, alcança a comida numa leve curva. No entanto, por vezes, especialmente quando os pontos D e F estão próximos um do outro, a solução não é tão fácil. O cão pode perder algum tempo a ladrar, a arranhar o chão ou a saltar contra a vedação antes de “conceber a ideia brilhante” (como nós diríamos) de dar a volta.

      É interessante comparar o comportamento de diferentes animais colocados no local do cão. O problema é muito fácil para um chimpanzé ou para uma criança de quatro anos (para quem um brinquedo pode ser uma atracção melhor do que a comida). Contudo, é surpreendentemente difícil para uma galinha que corre para trás e para a frente, de forma excitada, sempre do seu lado da vedação. Ela perde muito tempo até alcançar a comida, ou nunca chega a alcançá-la, ou pode consegui-lo, acidentalmente, depois de muito correr. 

Polya apresenta agora um exemplo de comportamento de alguns animais (a saber: cão, galinha e chimpanzé) na resolução de um outro problema: tendo uma vedação composta por três lados de um rectângulo, alguma comida no exterior e o animal no interior do rectângulo, pretende-se verificar o comportamento do animal para atingir a comida.

Começa por ser apresentado o exemplo relativo ao cão. Este, apesar de poder inicialmente tentar ir de imediato na direcção da comida, rapidamente contorna a vedação e alcança a comida. A decisão de contornar a vedação pode demorar algum tempo, especialmente se a comida estiver muito perto da vedação.

Se, no lugar do cão, estivesse um chimpanzé ou uma criança de quatro anos, a resolução do problema não teria qualquer dificuldade.

No entanto, se o animal em causa for uma galinha, o problema torna-se bastante mais complicado. A galinha corre de um lado para o outro e, ou demora muito tempo até atingir a comida, ou nunca a alcança, ou, se a alcançar, é acidentalmente.

5. Não vale a pena construir uma grande teoria com base numa simples experiência, observada apenas de forma superficial. Há desvantagem em assinalar analogias óbvias que estamos preparados para reexaminar e reavaliar.

Andar à volta de um obstáculo é o que fazemos ao resolver qualquer tipo de problemas; as experiências têm uma espécie de valor simbólico. A galinha agiu como as pessoas que resolveram o seu problema atrapalhando-se, tentando outra vez e outra vez e, eventualmente, tendo sucesso por alguma razão acidental, sem reflexão sobre as razões para o sucesso. O cão que arranhava o chão, saltava e ladrava antes de dar a volta, resolveu o problema quase tão bem como nós resolvemos o nosso sobre os dois recipientes. Imaginar a escala que mostra a linha de água nos nossos recipientes foi um comportamento quase tão inútil como arranhar o chão, comportamento que mostra que procuramos falsidades por debaixo das aparências. Também tentamos primeiro trabalhar para a frente e chegámos depois à ideia de voltar para trás. O cão que, após uma breve inspecção da situação, deu a volta e ladrou, dá a impressão, correcta ou errada, de ter tido uma compreensão superior.

Não, não devíamos sequer culpar a galinha pela sua ignorância. Há na verdade uma certa dificuldade em dar a volta, em afastarmo-nos do pretendido, em proceder sem olhar continuamente para o que se pretende alcançar, em não seguir o caminho directo para o fim desejado. Há uma analogia óbvia entra as dificuldades da galinha e as nossas dificuldades.

Polya defende que, através dos exemplos apresentados anteriormente, é possível encontrar uma analogia entre os comportamentos dos humanos e dos animais.

Nesse sentido, faz duas comparações:

1) entre a galinha e a maioria das pessoas – que, para resolver os problemas, fazem tentativas sucessivas e só encontram a solução acidentalmente, quando a encontram.

2) entre o cão e as pessoas que Polya designa por excepcionalmente capazes ou que tiveram hipótese de aprender Matemática – que perdem pouco tempo com tentativas, adoptando rapidamente um método mais eficaz.

¹[O matemático grego Pappus, que Polya refere, deu uma importante discrição do método.]

Com esta analogia entre o comportamento humano e animal, Polya pretende mostrar-nos que  quem tem maior formação matemática consegue mais facilmente visualizar outro caminho para resolver qualquer problema, ou seja, que um sábio vê sempre uma árvore diferente de um ignorante.

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O possível Platonismo de Polya