Problema 40:
Divida 100 pães por 5 homens, de modo que a partilha seja feita numa progressão aritmética e que a soma das duas menores partes seja 1/7 da somas das três partes maiores. Qual é a diferença entre as partes?
Resolução:
Este problema utiliza simultaneamente séries aritméticas e equações.
Consideremos a diferença 5 1/2.
Então consideremos as partes 1, 6 1/2, 12, 17 1/2, 23 que totalizam 60.
Como temos 100 pães multipliquemos cada parte por 100/60=1 2/3. Obtém-se assim as partes 1 2/3, 10 2/3 1/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.
Então a diferença entre as partes é 9 1/6.
Uma resolução mais actual seria:
Seja d a diferença e s o termo inicial. Então 20 =100/5 = s + d(5-1)/2 = s+2d. A soma das dois termos menores é 1/7 da soma dos três maiores, logo 3s +9d = 7x(2s + d) = 14s + 7d. Portanto, 2d = 11s e 20 = s+2d = 12s. Logo s = 1 + 1/2 + 1/6 e 2d = 11s = 18 + 1/3. Assim, d = 9 + 1/6. Os homens recebem respectivamente 1 + 1/2 + 1/6, 10 + 1/2 + 1/3, 20, 29 + 1/6, 38 + 1/3. O total é 100.