O nascimento dos complexos
Historicamente, os números complexos surgiram para resolução das
equações quadráticas, e cúbicas. Se a equação
é solúvel, por que razão não o será também a equação
? Ou seja, não terá -1 uma raiz quadrada?
É inútil perguntar a natureza desse número que, multiplicado por si mesmo, é igual a -1. Representando esse número pelo símbolo i observamos que tudo funciona bem. O objecto i – a unidade imaginaria - nada tem a ver com Número como instrumento de contagem. A unidade imaginária é puramente um símbolo cuja natureza parece alheia ao carácter concreto e indutivo que os números naturais apresentam. Designemos desde já por imaginárias ou complexas as raízes quadradas dos números negativos. Como veremos, os imaginários são tão reais como os reais. Mais ainda: estes números obedecem às regras que já conhecemos para os números reais.
Como entraram em uso estes números? Compreendemos melhor o que se passou recordando as reacções aos diversos alargamentos do campo dos números.
Quando os pitagóricos descobriram os irracionais
(etimologicamente, irracional significa sem razão), reinou a consternação e, por
tê-los revelado, um dos membros da seita pagou com a vida o seu crime de
apostasia. Os Gregos, para quem a geometria era um regozito e a álgebra um
mal necessário, baniram-nos, incapazes que eram de os representarem
geometricamente. Mas a álgebra precisava deles para se desenvolver. As equações
do tipo 
, com
a e b positivos (como ), conduzem naturalmente a números negativos! Mais sábios do
que o sábio árabe Omar Kayan, que os evitou, os Chineses e os Hindus reconheceram-nos ainda
antes do começo da era cristã. Os Europeus demorariam muito mais tempo. Sem
terem ainda assimilado bem os irracionais e os negativos, depararam com outros
entes problemáticos – os complexos. A humanidade demorou algum tempo a
compreender que, afinal, os complexos são simples.
Os números negativos foram considerados impossíveis durante muito tempo. De que falamos afinal, quando falamos de -2 maçãs? Decerto, de nada realmente real (pelo menos no sentido físico)! Porem, todos falamos com naturalidade de temperaturas negativas ou de saldos bancários negativos. O hindu Brahmagupta, em 628 da nossa era, lidou com os negativos sem grandes problemas. O que é interessante, pois a introdução das diferentes espécies de números sempre desencadeou reacções de espanto e de não aceitação.
No século XVI, os negativos surgem na “Ars
Magna” de Cardano, famoso tratado de álgebra da Renascença. No entanto, repugnaram
tanto a consciência cientifica de Girolamo Cardano que este lhes chamou
fictícios. No século XVII, Antoine Arnauld argumenta que a proporção 
é absurda, pois como pode um mais pequeno estar para um
maior, como um maior está para um mais pequeno?
Cardano, ao resolver a equação 
, obtém as soluções 
e
e afirma:
“Deixando de lado as torturas
mentais envolvidas, substituamos a pretensa solução na equação. Observando sem
preconceitos, concluímos que 
como se pretendia. Portanto, progride a subtileza da
aritmética, cujo o fim é tão refinado quanto inútil.”
Ou seja, pode não fazer sentido, mas a verdade é que funciona! Um verdadeiro enigma.
Cedo terão os matemáticos deparado com equações quadráticas cuja
resolução conduzia a raízes quadradas de números negativos. Todavia incapazes de
aceitarem esses entes rejeitaram-nos, afirmando que as equações que a eles
conduziam não tinham solução. No século XVI, Cardano concebeu que, se tais
números fossem tratados como números ordinários com a regra adicional 
, então satisfariam as equações. Estes números, a que no
passado atribuía a impossibilidade de qualquer significação, sendo por isso
designados por «imaginários», conquistaram progressivamente a cidadania
matemática.
Embora o conceito de “número imaginário” tenha demorado ate ao século XIX, para a sua aceitação total pelos matemáticos, a fórmula de Cardano pode ser encarada como sendo o início do processo. Contudo foi o professor Bombelli, o último dos grandes matemáticos bolonheses do século XVI, que esboçou pela primeira vez uma teoria consistente dos números imaginários.