Note o leitor que os artigos on line são, em regra, manuscritos que deram origem às versões publicadas. Há algumas diferenças entre os manuscritos e os artigos publicados. Se pretende citar um artigo deve também consultar a versão publicada.
O problema da decisão e a máquina universal de Turing, a aparecer num volume comemorativo do centenário do nascimento de Alan Turing.
Em 2012 comemorou-se o centenário do nascimento de Alan Turing. Pediram-me para escrever um ensaio sobre Turing para um volume comemorativo do centenário. Escolhi o tema do problema da decisão (Entscheidungsproblem) e a sua solução através da chamada máquina universal de Turing (não confundir com as chamadas máquinas Bombes utilizadas para decifrar as encriptações Enigma dos alemães na segunda guerra mundial). Como tento explicar no ensaio, a noção de máquina universal de Turing é um bem sucedido caso de filosofia aplicada.
A lógica matemática como empreendimento fundamentador. In: Memórias da Academia das Ciências de Lisboa, Classe de Ciências, tomo XLV. ACL, 2018, pp. 7-20.
Pode dizer-se que os teoremas da incompletude de Gödel no início das anos trinta do século passado iniciaram uma nova fase para a Lógica Matemática, em que esta se afasta progressivamente de questões fundamentadoras explícitas. Acompanhando este movimento, os Fundamentos da Matemática deixaram de capturar o interesse e a imaginação dos matemáticos de topo. Neste ensaio abordo três linhas de investigação em Lógica Matemática que, a meu ver, têm importância para os Fundamentos da Matemática. Não se tratam de propostas globalizadores de fundamentação, mas antes de investigações parcelares que, ainda assim, abordam temas importantes da fundamentação da matemática.
Logicismo. In: Compêndio em Linha de Problemas de Filosofia Analítica (organizado por João Branquinho e Ricardo Santos).
Discute-se o programa logicista da aritmética proposto por Frege, descrevendo com algum detalhe o desenvolvimento fregiano da aritmética. O paradoxo de Russell fez surgir uma nova forma de logicismo. Esta nova forma abandona a noção fregiana de objeto lógico, considera as classes como sendo ficções lógicas e substitui o sistema de Frege por uma teoria de tipos lógicos. Estas propostas são analisadas. Aborda-se também o programa neologicista (e abstracionista) de Hale e Wright e discutem-se brevemente versões predicativas do sistema fregiano original. O escrito termina com algumas considerações sobre o programa neologicista.
Grundlagenstreit e o intuicionismo Brouweriano. Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática 58, pp. 1-23 (2008).
L. E. J. Brouwer (1881-1966) foi um importante topologista mas também é conhecido por ser o fundador da escola intuicionista em Matemática. Numa primeira fase, o intuicionismo girou em torno duma visão construtivista da matemática e duma crítica ao princípio do terceiro excluído. Nesta fase, o intuicionismo pode considerar-se um sub-sistema da matemática clássica. A partir de 1917, Brouwer introduz a noção intuicionista de “sequência indefinidamente procedente” para lidar com o continuum real e, com ela, aceita certos princípios reguladores. Estes princípios refutam algumas leis da logica clássica. Neste escrito descrevemos os princípios intuicionistas básicos desta segunda fase e um célebre episódio que opôs Brouwer a David Hilbert no final dos anos vinte.
A matemática de Kurt Gödel. Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática 55, pp. 39-62 (2006).
Kurt Gödel nasceu a 28 de Abril de 1906. Na ocasião do centenário do seu nascimento, organizei um volume do Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática totalmente dedicado a Gödel. O presente trabalho é a minha contribuição para esse volume. Os outros autores são Solomon Feferman ("Vida e carreira"), A. J. Franco de Oliveira ("Kurt Gödel, Viena"), Reinhard Kahle ("Os teoremas da incompletude de Kurt Gödel"), Luís Moniz Pereira ("Gödel e a computabilidade") e Manuel A. Lourenço ("Um filósofo da evidência"). Veja-se a apresentação ao volume.
O problema P versus NP. In: “2000 Matemática Radical”, colectânea de textos organizada por Miguel Ramos, Jorge Nuno Silva e Luís Trabucho. Textos de Matemática, Departamento de Matemática da Universidade de Lisboa, 2002, pp. 1-15. [Com algumas correcções entretanto efectuadas.]
No dia 24 de Maio de 2000, numa conferência no Collège de France em Paris, o Clay Mathematical Institute de Cambridge (Massachusetts, E.U.A.) pôs a concurso sete problemas da matemática. O prémio atribuído à solução de cada um destes “Millenium Prize Problems” é de um milhão de dólares americanos. Um dos problemas da lista é o problema P versus NP. Neste pequeno artigo explicamos em que consiste este problema e tecemos algumas considerações a seu respeito.
Teoria dos conjuntos: uma vista. Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática 38, pp. 29-47 (1998). [Com algumas correcções entretanto efetuadas.]
Este artigo cresceu a partir duma entrada da “Enciclopédia de Termos Lógico-Filosóficos” (Gradiva Publicações, 2001). Como o título indica, nele procurámos dar uma panorâmica - em traços muito largos - da teoria dos conjuntos, desde o seu início até actualmente. Damos ênfase à teoria descritiva dos conjuntos (i.e., ao estudo de subconjuntos do continuum real) e à sua relação com postulados de determinação e axiomas de grandes cardinais.
No paraíso sem convicção... (uma explicação do programa de Hilbert). In “Matemática e Cultura II”, organização de Furtado Coelho. Centro Nacional de Cultura e SPB Editores, 1995, pp. 87-121.
Nas palavras de Paul Bernays, discípulo de Hilbert: “A grande vantagem do método de Hilbert é a seguinte: os problemas e as dificuldades que se apresentam nos fundamentos da matemática podem ser transferidos do domínio epistemológico-filosófico para o domínio matemático”. Tendo o programa de fundamentação da matemática de Hilbert uma formulação matemática, não seria de excluir que pudesse ser refutado matematicamente. Neste artigo explicamos em que consiste o programa de Hilbert e como ele foi refutado pelos teoremas de Gödel.
Como ser sério com palavras cruzadas, in “Matemática e Cultura I”, organização de Furtado Coelho. Centro Nacional de Cultura e Edições Cosmos, 1992, pp. 37-53.
Este ensaio é um “divertimento” sobre paradoxos. Discute-se o paradoxo de Russell, assim como alguns paradoxos da antiguidade atribuídos a Eubúlides de Mileto. Um destes paradoxos, o paradoxo do mentiroso, é objeto de especial atenção, sendo relacionado com célebres teoremas da lógica matemática do século XX devidos a Alfred Tarski e a Kurt Gödel.
[Os artigos acima são apenas para uso pessoal. Na maior parte dos casos, os editores são detentores do Copyright ©.]
Para ver ou imprimir os artigos 'on-line' desta página necessita de ter, ou necessita de fazer o 'download' duma cópia do Adobe Acrobat Reader.