Segunda-feira, 24 de Agosto de 1654

Senhor,

Comentários:

1.     Na última carta não consegui explicar-lhe todas as minhas ideias acerca do problema dos pontos e, ao mesmo tempo, tenho um certo receio em fazer isso pois, temo que esta admirável harmonia conseguida entre nós e que é tão querida para mim, comece a diminuir pois, tenho receio que tenhamos opiniões diferentes em relação a este assunto. Desejo expor-lhe todo o meu raciocínio e, peço-lhe o favor de me corrigir caso eu esteja em erro, ou de me endossar caso esteja correcto. Peço-lhe isto com toda a confiança e sinceridade pois nem sequer estou certo que você estará do meu lado.

Pascal  predispõe-se a apresentar o seu raciocínio. 

É de salientar o facto de Pascal pedir a Fermat para o corrigir ou para o apoiar, apesar de mostrar algum receio que a amizade até à data conseguida, possa diminuir.

       Quando há somente dois jogadores a sua teoria, que prossegue das combinações, é muito justa. Mas, quando há três, acredito que tenho a prova que é injusto que proceda de qualquer outra maneira diferente daquela que eu tenho. Mas, o método que lhe dei a conhecer, e o qual tenho usado universalmente, é comum a todas as condições imagináveis de distribuição dos pontos, em vez do das combinações (as quais eu não uso, excepto em casos particulares quando é mais curto do que o método habitual), um método que só é bom em casos isolados.

       Tenho a certeza de que conseguirei fazê-lo entender mas, são necessárias algumas palavras da minha parte e um pouco de paciência da sua parte.

 Pascal tenta convencer Fermat de que somente o método que lhe deu a conhecer na última carta permite uma generalização quanto ao número de jogadores.  

2.     Este é o método de procedimento quando se tem dois jogadores: se dois jogadores estiverem a jogar em vários lançamentos, encontram-se num estado tal que o primeiro carece de 2 pontos e o segundo de 3 para ganhar a aposta, você diz que é necessário ver em quantos pontos será o jogo, absolutamente, decidido.

       É conveniente supor que  isto será em 4 pontos, donde se conclui que, é necessário ver de quantas maneiras diferentes podem ser distribuídos os pontos, entre os dois jogadores, quantas combinações existem para fazer com que o primeiro ganhe e, quantas para fazer com que o segundo ganhe e, para dividir a aposta de acordo com essa proporção. Eu dificilmente poderia entender esta explicação se não a soubesse antes; mas, você também escreveu isto na sua discussão. Então, para ver de quantas maneiras 4 pontos podem ser distribuídos entre dois jogadores, é necessário imaginar que eles jogam com um dado de apenas 2 faces (uma vez que há apenas dois jogadores), como cara e coroa, e que eles lançam 4 dados destes (porque eles jogam 4 vezes). Agora, é necessário ver de quantas maneiras podem eles cair. Isso é fácil de calcular. Podem haver 16, que é a segunda potência de 4; que é o mesmo que dizer, o seu quadrado. Agora imagine que uma das faces tem marcado a, favorável ao primeiro jogador. E, suponha que a outra tem marcado b, favorável ao segundo. Então estes 4 dados podem cair de acordo com qualquer uma destas disposições:

 Pascal volta a explicar o seu método a Fermat para o caso de dois jogadores. Na última carta, o matemático explicou este método através de 3 casos particulares, tendo como ponto de partida os pontos conseguidos pelos jogadores até à data. Aqui, usa o mesmo método mas, partindo do caso em que a um jogador faltam 2 pontos para ganhar e ao outro 3. 

Todo o raciocínio feito neste ponto, é baseado na suposição de que estão apenas 4 pontos em jogo.

Neste pequeno quadro, podem ser observadas as 16 disposições  possíveis em que os 4 dados (de duas faces: a e b) podem cair, sendo 11 delas favoráveis ao primeiro jogador (indicadas com 1 na tabela) e 5 ao segundo (indicadas com 2).

e, porque o primeiro jogador carece de dois pontos, todas as disposições que têm 2 a's fazem com que ele ganhe. Assim sendo, tem 11 a seu favor. E, porque o segundo carece de três pontos, todas as disposições que têm 3 b's, fazem com que ele ganhe. Há 5 desta forma. Assim, é necessário que eles dividam a aposta como 11 está para 5.
        Pelo seu método, quando temos dois jogadores, você diz que se existirem mais jogadores, não será difícil fazer a divisão por este método.

3.     Neste ponto Sr, digo-lhe que esta divisão, baseada nas combinações, é muito equitativa e boa mas, se houver mais do que dois jogadores nem sempre é justo e devo-lhe dizer a razão para tal diferença. Comuniquei o seu método a (alguns dos) nossos cavalheiros, e o Sr. Roberval fez-me esta objecção:

       Que é errado basear o método de divisão na suposição que eles estão a jogar por 4 lançamentos vendo que, quando um carece de dois pontos e o outro de três, não há necessidade que eles joguem quatro jogadas, uma vez que, pode dar-se o caso que joguem dois, ou três ou, na verdade, talvez quatro.

       Isto porque ele não vê por que é que um deve fingir fazer uma divisão justa, com a condição assumida que um jogue quatro lançamentos, tendo em consideração o facto de que, nos termos naturais do jogo, eles não devem lançar o dado depois de um dos jogadores ter ganho; e que, se isto pelo menos não é falso, deve ser provado. Consequentemente, ele suspeita que nós tenhamos cometido um paralogismo.

       Eu respondi-lhe que não tinha encontrado a minha explicação, tanto no método das combinações, que na verdade não está em causa neste momento, como no meu método universal, do qual nada escapa e que transmite a sua prova por si mesmo. Este encontra a mesma divisão que a do método das combinações. Além disso, mostrei-lhe a verdade das divisões entre os dois jogadores pelas combinações, da seguinte forma: não é verdade que, se dois jogadores, estando de acordo com as condições da hipótese de que um carece de dois pontos e o outro de três, devem, de comum acordo, jogar 4 jogadas completas, isto é, que devem lançar 4 vezes, ao mesmo tempo, dois dados de duas faces - não é verdade, digo eu, que, caso eles estejam impedidos de jogar as 4 jogadas, a divisão deve ser, como já dissemos, de acordo com as combinações favoráveis a cada um? Ele concordou com isto e isto está de facto provado. Mas, ele negou que o mesmo acontece quando eles não são obrigados a jogar as 4 jogadas. Então, eu respondi como se segue:

       Não é óbvio que os mesmos jogadores, não estando obrigados a  jogar as 4 jogadas mas, desejando desistir do jogo antes de um deles ter alcançado a sua pontuação, podem, sem perda ou ganho, ser obrigados a jogar as 4 jogadas, e que esse entendimento não muda, de modo algum, as suas condições? Visto que se o primeiro ganhar os 2 primeiros pontos de 4, não deverá, aquele que ganhou, recusar jogar mais 2 jogadas, vendo que se ele ganhar, não ganhará mais e se perder, não ganhará menos? Porque os dois pontos que o outro ganhar não são suficientes, dado que ele carece de 3 e não há pontos que cheguem, em 4 jogadas, para ambos conseguirem o número que lhes falta.

       É com certeza conveniente considerar que, é absolutamente igual e indiferente para cada um, quer eles joguem segundo a maneira natural do jogo, a qual é acabar assim que um consiga a sua pontuação, quer eles joguem as 4 jogadas por completo. Assim sendo, dado que estas duas condições são iguais e indiferentes, a divisão deve ser semelhante para ambos. Mas, dado que só é justo quando eles são obrigados a jogar as 4 jogadas, como eu mostrei, também é, portanto, justo no outro caso.

       Esta foi a maneira como eu o provei e, como deve estar recordado, esta demonstração é baseada na igualdade das duas condições verdadeiras, assumidas em relação aos dois jogadores, a divisão é a mesma em cada um dos métodos e, se um ganhar ou perder por um método, ele perderá ou ganhará pelo outro, e os dois terão sempre a mesma quantia.

Pascal confessa ter apresentado o método de Fermat a alguns colegas seus. De entre os comentários que poderão ter surgido, Pascal refere o de Roberval. Segundo este, Fermat baseou o seu método numa suposição  falsa. De seguida, Pascal justifica ess objecção explicando aquilo que aparenta ter sido defendido por Roberval. Para terminar, Pascal dá a conhecer o que disse em resposta a tal observação.

4.     Usemos o mesmo argumento para três jogadores e, assumamos que ao primeiro falta 1 ponto, ao segundo 2 e ao terceiro 2. Para fazer a divisão, seguindo o mesmo método das combinações, é necessário primeiro descobrir em quantos pontos pode ser decidido o jogo, como fizemos quando havia 2 jogadores. Aqui, terão que ser em três pontos, pois eles não conseguem jogar 3 jogadas sem, necessariamente, chegar a uma conclusão.

       É agora necessário ver de quantas maneiras podem ser combinadas as 3 jogadas, entre os jogadores, e quantas são favoráveis ao primeiro, quantas são ao segundo e quantas ao terceiro, e seguindo a proporção na distribuição da aposta, como fizemos na hipótese dos 2 jogadores.

       É fácil ver quantas combinações há ao todo. Isto é a terceira potência de 3; que é o mesmo que dizer, o seu cubo, ou 27. Pois, se um atirar 3 dados ao mesmo tempo (pois é necessário atirar 3 vezes), tendo estes dados 3 faces cada um (uma vez que há 3 jogadores), uma marcada a favorável ao primeiro, uma marcada b favorável ao segundo e outra marcada c favorável ao terceiro, - é evidente que estes 3 dados atirados, ao mesmo tempo, podem cair de 27 maneiras diferentes, como:

Analogamente ao que foi feito no ponto 2, Pascal volta a usar o mesmo método mas, desta vez, fá-lo para o caso de 3 jogadores, em que ao primeiro falta 1 ponto para ganhar e ao segundo bem como ao terceiro, faltam 2. 

Todo este raciocínio é feito tendo por base a hipótese de haver só 3 pontos em jogo.

Este quadro contém as 27 disposições  possíveis em que os 3 dados (de três faces: a, b e c) podem cair, sendo 19 delas favoráveis ao primeiro jogador (indicadas com 1 na tabela), 7 ao segundo (indicadas com 2)e outras 7 favoráveis ao terceiro (indicadas com 3).

       Se nós concluirmos daqui, que é necessário dar a cada um de acordo com a proporção 19, 7, 7, estamos a cometer um sério erro, e eu hesitaria em acreditar que você faria isto. Há diversos casos favoráveis ao primeiro e ao segundo, como abb tem o a de que o primeiro precisa, e os 2 b's de que precisa o segundo. Assim como o acc é favorável ao primeiro e ao terceiro.

       Portanto, não é desejável contar as distribuições que são comuns aos dois como valendo o valor total de cada mas, somente metade do ponto. Pois, se a distribuição acc ocorrer, o primeiro e o terceiro deverão ter o mesmo direito à aposta, fazendo cada um a sua pontuação. Assim sendo, eles devem dividir a aposta ao meio. Se a distribuição aab ocorrer, o primeiro ganha sozinho. É necessário fazer a seguinte suposição:

Pascal chama a atenção de Fermat para a possibilidade de se vir a cometer um erro, dado que existem combinações que são favoráveis a mais do que um jogador. 

Segundo Pascal, estas combinações devem valer metade. 

       Existem 13 distribuições que dão o total da aposta ao primeiro, 6 que dão metade e 8 que não lhe valem de nada. Assim, se a soma total for uma pistola, há 13 distribuições, em que cada uma lhe vale uma pistola, há 6 que lhe valem 1/2 de uma pistola, e 8 que não lhe valem de nada.

       Então, neste caso da divisão, é necessário multiplicar

                                         13 por uma pistola que dá  13

                                           6     por metade que dá      3

                                           8        por zero que dá       0

                                Total  27                          Total   16

e dividir a soma dos valores, 16, pela soma das distribuições, 27, o que dá a fracção 16/27 e é esta quantia que pertence ao primeiro jogador, no caso de haver uma divisão; o que quer dizer, 16 pistolas de 27.

       As partes do segundo e terceiro jogador serão as mesmas:

há   4 distribuições que valem 1 pistola; multiplicando,                    4

há   3 distribuições que valem 1/2 de uma pistola; multiplicando, 11/2

e     20 distribuições que não valem nada                                            0

      27  Total                                                                       Total      51/2

       Assim 51/2 pistolas de 27 pertencem ao segundo jogador, e o mesmo ao terceiro. A soma de 51/2, 51/2 e 16 dá 27.

Tendo em conta tudo o que foi dito anteriormente, Pascal termina este ponto dizendo quanto ganha cada jogador.

5.     Parece-me que é esta a maneira na qual é necessário fazer a divisão pelas combinações, de acordo com o seu método, a não ser que tenha algo mais sobre o assunto que eu não saiba. Mas, se não estou enganado, esta divisão é injusta.

       A razão é que estamos a fazer uma suposição falsa, isto é, que eles estão a jogar 3 lançamentos sem excepção, em vez da condição natural deste jogo que é, que eles não devem jogar a não ser quando um dos jogadores obtiver o número de pontos que lhe faltam, e nesse caso o jogo termina.

       Não é que tal não possa acontecer ao jogarem 3 vezes mas, pode acontecer que eles joguem uma ou duas vezes e não necessitem de jogar outra vez.

Pascal, neste ponto (5), começa por referir um ponto em comum entre o seu método e o de Fermat: a divisão pelas combinações. Segundo ele tal divisão baseia-se numa suposição falsa (a Bold)

       Mas dirá você: porque é que é possível fazer a mesma suposição neste caso como fizemos no caso dos 2 jogadores? Aqui fica a razão: na verdadeira condição (do jogo) entre 3 jogadores só um pode ganhar pois, pelos termos do jogo, terá terminado assim que um (dos jogadores) ganhe. Mas, sob as condições assumidas, 2 podem obter o número dos seus pontos, dado que o primeiro pode ganhar o ponto que lhe falta e, um dos outros pode ganhar os 2 pontos que lhe faltam, desde que eles tenham jogado só 3 jogadas. Quando há apenas 2 jogadores, as condições assumidas e as verdadeiras condições contribuem para a vantagem dos 2. É isto que faz a maior diferença entre as condições assumidas e as verdadeiras.

Pascal apresenta a razão pela qual é possível fazer a mesma suposição, para o caso de 3 e de 2 jogadores. Neste ponto, Pascal menciona também os dois tipos de condições, que podem servir de base aos dois raciocínios, o de Fermat e o seu: condições assumidas e condições verdadeiras.

 Pascal indica a divisão a ser feita, partindo das condições assumidas (a sublinhado).

É apresentada a divisão mas, desta vez, utilizando as condições verdadeiras (a sublinhado).

Neste último ponto, Pascal volta a elogiar o estudo feito por Fermat acerca do problema.

       Não me é permitido revelar-lhe as minhas razões para estar ansioso pelas suas opiniões.  Acredito que você reconheceu nisto que a teoria das combinações é boa, para o caso dos 2 jogadores, por acidente, como também é, por vezes, boa no caso dos 3 jogadores, como quando um carece de 1 ponto, outro de 1 e o outro de 2, pois neste caso, o número de pontos aos quais o jogo termina não é suficiente para permitir que 2 ganhem mas, não é um método geral e é bom somente no caso de ser necessário jogar, exactamente, um dado número de vezes.

       Consequentemente, como você não tinha o meu método quando me enviou a divisão entre vários jogadores mas, (dado que você tinha) só o das combinações, temo que defendamos diferentes pontos de vista relativamente a este assunto.

Após ter referido, mais uma vez, para que casos a teoria das combinações é boa, Pascal volta a confessar a Fermat, como já tinha feito no início desta carta, o seu receio de que estejam a ser utilizadas diferentes abordagens do problema. 

       Peço-lhe que me informe acerca do modo como procederia na sua pesquisa neste problema. Receberei a sua resposta com respeito e alegria, mesmo que as suas opiniões sejam contrárias às minhas.

Pascal  

 Para terminar, Pascal, tal como tinha feito no início da carta, pede a Fermat que o informe das suas pesquisas, mesmo que as suas opiniões sejam divergentes.