Há quem defenda que os paradoxos que surgem da teoria de Cantor podem resolvidos e há quem mantenha a posição de que devemos descartar o infinito e os processos infinitos, porque eles conduzem inevitavelmente a paradoxos.
Recorde-se que Kronecker, na sua crença de que o infinito era apenas uma invenção humana, fez tudo o que estava ao seu alcance para que as teorias de Cantor não vingassem.
Menos radical, Poincaré definiu tais teorias como algo que as gerações vindouras interpretariam como:
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(...) uma doença da qual conseguimos recuperar. (Poincaré, cit in Stewart, 1996, p. 73) |
Também descrente, Hermann Weyl declarou, acerca da infinidade de infinitos de Cantor :
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Nós desafiámos os céus, e tudo o que conseguimos foi construir confusão atrás de confusão, uma névoa que não sustentará ninguém que seriamente pretenda basear-se nela. [Para Weyl, a teoria Cantoriana era apenas] névoa no nevoeiro. (Weyl, cit in Muir, 1996, p.241) |
Do
outro lado, Adolf Hurwitz e
Hadamard descobriram importantes aplicações da
teoria de conjuntos em análise, e falaram sobre elas em prestigiadas
conferências internacionais; e em 1926, David
Hilbert, um dos mais proeminentes matemáticos do seu tempo, declarou:
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Do paraíso que Cantor criou para nós, ninguém nos expulsará. [E elogiou as suas ideias como] o mais espantoso produto do pensamento matemático. (Hilbert, cit in Stewart, 1996, p. 73) |
Os logicistas, que acreditam que partindo de uma base firme, a lógica e a razão, a matemática conduz inevitavelmente a resultados válidos, defendem que os paradoxos podem ser eliminados.
Os intuicionistas, por outro lado, acreditam que não só a base não é firme, como é incapaz de tornar-se firme. Para apoiar as suas acusações existem algumas indicações da física quântica de que a lógica e o método axiomático são insuficientes na construção dos modelos matemáticos. Para além disso, existe uma demonstração, formulada por Kurt Godel em 1931, que afirma que é impossível provar a consistência interna de um sistema matemático que inclua números cardinais. Esta demonstração, frequentemente elogiada como uma das mais importantes dos tempos recentes, não significa que todos os sistemas são inconsistentes, significa simplesmente que nunca podemos determinar se um sistema é ou não consistente.
A famosa hipótese do contínuo, como ficou conhecida a conjectura de
Cantor, foi resolvida demonstrando-se que não tem solução. É uma situação
semelhante à que ocorreu quando se descobriu que o postulado euclidiano das
rectas paralelas não podia ser demonstrado (o famoso 5º postulado de
Euclides). A geometria ficou dividida nos ramos euclidiano
e não-euclidiano. De forma semelhante, a
teoria dos conjuntos divide-se actualmente nos ramos cantoriano e
não-cantoriano.