Com
Cantor parecia ter-se chegado ao fim da estrada no que diz respeito aos
problemas dos números na Matemática. O infinito, a base de toda a análise e
dos números irracionais, tinha sido finalmente sistematizado e fundamentado
numa teoria consistente. Mas um novo caminho despontou - existe sempre,
felizmente, um novo caminho em Matemática.
Um
dos primeiros obstáculos que se levantaram diz respeito à teoria dos conjuntos
de Cantor e à sua afirmação de que existe um número infinito de números
transfinitos, isto é, não existe um número transfinito maior do que todos os
outros. Se isto é verdade conduz-nos a um paradoxo:
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Se a todos os conjuntos infinitos se pode atribuir um número transfinito, a sua cardinalidade, então tem de existir um conjunto cujos membros incluam todos os números transfinitos. Então este conjunto teria de ter como cardinalidade o último (o maior) dos números transfinitos - no entanto Cantor afirmou que não existe tal número! Mas há mais: será que este conjunto, uma vez que inclui todos os conjuntos infinitos, se inclui a si próprio? |
Independentemente da resposta ser
sim ou não, outro paradoxo se avizinha:
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Se
se inclui a si próprio, então todos os conjuntos infinitos podem ser divididos
em dois tipos, aqueles que se têm a si próprios como membros e aqueles que não,
o que nos conduz à questão formulada por Russell: será que o conjunto de
todos os conjuntos que não são membros de si próprios é membro de si próprio? |
É
simplesmente inútil prosseguir com estes paradoxos adiante, eles colocam-nos
simplesmente na posição do barbeiro de Russell, que barbeia todos os homens da
cidade que não se barbeiam a si próprios e apenas esses - será que o barbeiro
se barbeia a si próprio?
Se
ele próprio se barbear, pertencerá ao grupo dos homens que se barbeiam
sozinhos, mas ele afirma que nunca faz a barba a ninguém pertencente a esse
conjunto. Portanto, não pode barbear-se a si próprio!
Então,
se é outra pessoa que faz a barba ao barbeiro, ele pertence ao conjunto dos
homens que não se barbeiam a si próprios, mas ele diz que faz a barba a todos
os homens desta categoria, portanto tem de fazer a sua própria barba!
Afinal,
quem faz a barba ao barbeiro?
Russell
resolveu este tipo de paradoxos através da sua teoria
dos tipos.
Se a questão dos paradoxos o intrigou talvez esteja interessado em conhecer mais alguns paradoxos relacionados com o infinito...
O
Hotel Infinito