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"Há quem pense, Rei Gelão, que o número de grãos de areia é infinito. E  quando menciono areia refiro-me não só aquela que existe em Siracusa e no resto da Sicilia mas também àquela que se encontra nas outras regiões, sejam elas habitadas ou desabitadas.

Mais uma vez, há quem, sem considerá-lo infinito, pense que nenhum número foi ainda nomeado que seja suficientemente grande para exceder a sua multiplicidade. E é claro que aqueles que têm esta opinião, se imaginassem uma massa  de areia tão grande como a massa da terra, incluindo nesta todos os mares e depressões da terra preenchidas até uma altura igual à mais alta das montanhas, estariam muito longe ainda de reconhecer que qualquer número poderia ser expresso de tal forma que excedesse a multiplicidade da areia aí existente. 

Mas eu tentarei mostrar-vos, através de provas geométricas que conseguireis acompanhar que, dos números nomeados por mim e que constam no trabalho que enviei a Zeuxipo, alguns excedem, não só o número da massa de areia igual em magnitude à da terra preenchida da maneira que atrás referi, mas também da massa igual em magnitude à do universo. 

Trata-se de um trabalho perdido intitulado Princípios.

Ora, vos estais por certo conscientes de que 'universo' é o nome dado por muitos astrónomos à esfera cujo centro é o centro da terra e cujo raio é igual à linha recta entre o centro do sol e o centro da terra. Esta é a definição comum, como tendes ouvido dos astrónomos. 

Arquimedes vai socorrer-se desta definição de 'universo', para poder demonstrar a sua ideia. 

Mas Aristarco de Samos escreveu um livro no qual as premissas levam ao resultado de que o universo é muitas vezes maior do que aquele que é agora considerado. A hipótese dele é que as estrelas fixas e o sol permanecem imóveis, que a terra gira em torno do sol na forma de uma circunferência, que o sol permanece no centro da órbita e que a esfera das estrelas fixas, situada relativamente perto do centro do sol, é tão grande que o círculo em que ele supõe que a terra gira suporta uma proporção, relativamente à distância das estrelas fixas tal como o centro da esfera suporta relativamente à sua superfície.

Esta é a célebre passagem em que Arquimedes se refere ao conteúdo do não menos célebre "Tratado do Mundo" de Aristarco de Samos, nomeadamente à hipótese heliocêntrica aí defendida.

Para um comentário suplementar

É fácil de ver que isto é impossível; pois dado que o centro da esfera não tem dimensão, não o podemos conceber para suportar qualquer proporção relativamente à superfície da esfera. Temos contudo de aceitar que Aristarco assim pense pela nossa parte, porque consideramos a terra como se fosse o centro do universo, a proporção que a terra suporta relativamente àquilo que descrevemos como sendo o 'universo' é igual  à proporção da esfera contendo o círculo em que ele supõe que a terra gira comparativamente à esfera das estrelas fixas. Pois ele faz uma adaptação dos seus resultados às demonstrações tendo em conta hipóteses deste tipo, e em particular parece que ele supõe que a magnitude da esfera que representa a terra em movimento é igual à magnitude daquilo a que chamamos o 'universo'.

Arquimedes avaliou a proporção da circunferência para o diâmetro de um círculo através de um processo iterativo extraordinário: "Começando com o hexágono regular inscrito, calculou os perímetros de polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a noventa e seis lados." (cf. Boyer, 1986:86). Para achar o perímetro do hexágono circunscrito era necessário extrair raízes quadradas, o que Arquimedes fez usando um método semelhante ao dos Babilónios. Observe-se ainda que ele conseguiu fazer uma aproximação do número P, (essencial para o cálculo da área do círculo), superior às que foram feitas pelos Egípcios e Babilónios.

Então eu digo que, mesmo que uma esfera, constituída por uma tão elevada quantidade de areia, como sendo comparativa à da esfera das estrelas fixas,como supõe Aristarco, eu continuarei a demonstrar que, dos números mencionados nos "Princípios", alguns excedem em multiplicidade o número da areia igual em magnitude à esfera atrás referida, desde que as seguintes suposições sejam feitas.

Para a sua demonstração, Arquimedes necessita de determinar o tamanho do universo. Deste modo, tem de partir de determinados pressupostos relativamente às distâncias e às dimensões do sol e da terra e à relação entre estas e o tamanho do 'universo'. Baseia-se para tal em estimativas de números  retirados de os "Princípios".

1. O perímetro da terra é de cerca de 3.000.000 estádios e não é maior que este número.

    É verdade que, como certamente sabeis, alguns já tentaram demonstrar que o tal perímetro é de cerca de 300.000 estádios. Mas eu vou mais longe e, considerando a magnitude da terra dez vezes o tamanho que os meus antecessores pensaram, suponho que o seu perímetro é de cerca de 3.000.000 estádios e não é mais.

Um estádio equivale, aproximadamente, a um décimo de milha

Note-se que Arquimedes sobrestimou o perímetro em causa para que a sua prova fosse o mais convincente possível. 

 2. O diâmetro da terra é maior do que o diâmetro da lua, e o diâmetro do sol é maior do que o diâmetro da terra.  

   Com esta suposição eu sou da opinião dos primeiros astrónomos.

3. O diâmetro do sol é cerca de 30 vezes o diâmetro da lua e não é maior. 

É verdade que, entre os primeiros astrónomos, Eudoxus (408-355 B.C.) declarou ser o diâmetro do sol cerca de nove vezes maior do que o da lua, e Pheidias (500-432 B.C.) doze vezes maior, enquanto que Aristarco tentou provar que o diâmetro do sol é maior do que 18 vezes, mas menor do que 20 vezes o da lua. Mas eu vou mais além de Aristarco para que a veracidade da minha proposição possa ser estabelecida para além de todas as disputas, e eu suponho que o diâmetro do sol é cerca de 30 vezes o da lua e não é maior.

Arquimedes faz sempre uma estimativa por excesso relativamente às medidas que obtém através da análise cuidada de trabalhos de astrónomos de então (incluindo o de seu pai). O seu objectivo é que a sua demonstração seja o mais convincente possível.

4. O diâmetro do sol é maior do que o lado do polígono regular com 1000 lados inscrito no maior círculo (na esfera) do universo.

Faço esta suposição¹ porque Aristarco descobriu que o sol pareceu ser cerca de -ésima parte do círculo do zodíaco, e eu próprio, por um método que em seguida vou descrever, tentei descobrir experimentalmente o ângulo subtendente pelo sol e tendo o seu vértice no olho."

Arquimedes está a comparar o diâmetro do sol com a circunferência descrita pelo seu centro (cf. Thomas Heath, 1921:83). Por outras palavras, e segundo Boyer, Arquimedes vai assumir que o tamanho aparente do sol é superior a uma milésima parte do círculo, uma estimativa brilhante (cf. Boyer,1986:86).

Arquimedes vai de facto provar que a esfera concebida por Arquimedes não poderá conter mais do que mil vezes o diâmetro do sol. Para ver essa demonstração  

¹ Isto não é, rigorosamente falando, uma suposição, mas sim, uma proposição mais tarde demonstrada através de uma experiência que será explicada (nota do editor).

Suposição5.

 Suponha-se uma dada quantidade de areia não maior do que uma semente de papoila, e suponha-se que não contém mais do que 10.000 grãos.

 Suponha-se de seguida que o diâmetro da semente de papoila não é menor do que 40 avos da largura de um dedo.

Arquimedes tem agora que avaliar o tamanho de um grão de areia para poder concluir quantos destes vão ser necessários para preencher o 'universo'.

 Vai fazê-lo recorrendo a uma semente de papoila, estimando a quantidade de grãos de areia que esta poderá conter, bem como o  diâmetro desta em 'largura de dedo' (unidade de medida tomada por Arquimedes).

É nesta altura que Arquimedes se depara com a necessidade de criar um sistema de notação que lhe permita escrever números de grande dimensão, uma vez que, na altura, o sistema numérico grego (alfabético)  não permitia tal representação. 

Para ver esse sistema 

Aplicação ao número da areia

Pela suposição 5,

(diâmetro da semente de papoila) não é < (largura de um dedo);

e, como uma esfera está para a outra com razão tripla dos seus diâmetros, segue-se que

Baseando-se na suposição que fez, e partindo dos factos: 

•  uma semente de papoila não contém mais do que 10 mil grãos de areia,

• o diâmetro da semente de papoila não é superior a 40 avos da largura de um dedo 

• um estádio é menor do que 10 mil 'largura de um dedo' 

Arquimedesdeduz  que o número de grãos pretendido é menor, do que,, escrito na nossa notação (cf. Boyer, 1986:86).

Acrescentamos agoragradualmente o diâmetro da esfera em questão, multiplicando-o por 100 de cada vez. Assim, lembrando que a esfera irá ser multiplicada por 100³ ou 1.000.000, o número de grãos de areia que estaria contido numa esfera com cada diâmetro sucessivo pode ser determinado como a seguir se segue.

Nesta passagem da carta, Arquimedes vai progressivamente aumentando o diâmetro da semente de cem em cem vezes, ampliando assim a sua dimensão, em cada passo, 1 milhão de vezes.  

Mas, pelo teorema, 

     (diâmetro do 'universo') < 10.000.000.000 estádios

Assim o número de grãos de areia contidos numa esfera do tamanho do nosso 'universo' é menor do que 1.000 unidades da sétima ordem dos números 

O diâmetro da semente foi sucessivamente ampliado na unidade 'largura de um dedo' e convertido na unidade estádio. Arquimedes concluiu, que o número de grãos de areia contidos na esfera de diâmetro 10 mil milhões estádio é menor do que 'mil unidades da sétima ordem' ( do referencial concebido por ele) o que equivale a no sistema decimal.    





16º termo da série, ou seja,

22º termo da série, ou seja,

28º termo da série, ou seja,

34º termo da série, ou seja,

40º termo, ou seja,

46º termo, ou seja,

52º termo da série, ou seja,

1.000 unidades da sétima ordem dos números, ou seja, .

Para ver o teorema 

Disto podemos provar ainda que uma esfera do tamanho atribuído por Aristarcos como sendo a esfera das estrelas fixas conteria um número de grãos de areia menor do que 10.000.000 unidades da oitava ordem.

Pois, por hipótese,

     (terra) : ('universo') = ('universo') : (esfera das estrelas fixas).

E,

     (diâmetro do 'universo') < 10.000 (diâmetro da terra)

bem como

     (diâmetro da esfera das estrelas fixas) < 10.000 (diâmetro do 'universo')

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     (esfera das estrelas fixas)< (10.000)³ . ('universo').

Segue-se que o número de grãos de areia que estaria contido numa esfera igual à esfera das estrelas fixas

< (10.000)³ x 1.000 unidade da sétima ordem 

< (13º termo da série) x (52º termo da série)

< 64º termo da série

< 10.000.000 unidades da oitava ordem dos números.

10.000.000 unidades da oitava ordem, ou seja, .

Arquimedes vai mais além ao determinar o número de grãos de areia necessários para preencher o 'universo' de Aristarco. Consegue provar que para tal, são necessários grãos o que, na notação utilizada por Arquimedes, corresponde a "dez milhões de unidades da oitava ordem de números (onde os números de segunda ordem começam com uma miríade de miríades, e os de oitava com a sétima potência de um miríade de miríades)" (cf. Boyer, 1986:86).

Uma miríade corresponde ao número 10.000. 

64º termo da série, ou seja,

Conclusão

"Creio que estas coisas, Rei Gelão, possam parecer inacreditáveis para a grande maioria das pessoas que não estudam matemática. Mas para aqueles que estão dentro do assunto e que já pensaram na questão das distâncias e tamanhos da terra, do sol, da lua e do universo inteiro a prova terá algum fundamento. E foi por este motivo que achei que o tema seria apropriado para a vossa consideração."