O Paradoxo de Russel

Em 1901, Russell tomou conhecimento do trabalho desenvolvido por Frege em "Grundgesetze der Arithmetik". Mas apenas em 1902 teve oportunidade de o analisar detalhadamente e de "fazer um estudo mais rigoroso", como refere na carta que mais tarde enviou a Gottlob Frege. Nesta obra, Frege tentava reduzir a aritmética à lógica e Russell, ao analisa-la, descobre uma contradição no sistema proposto. Como escreve:

"Há apenas um ponto onde encontrei uma dificuldade. O colega diz que uma função também pode actuar como elemento indeterminado. Eu acreditava nisto, mas agora esta perspectiva parece-me duvidosa pela seguinte contradição. Seja w o predicado: para ser predicado, não pode ser predicado de si próprio. Pode w ser predicado de si próprio?"

Considere-se o conjunto y de todas as entidades que não são membros de si próprias, i.e., x Î y se, e só se x Ï x (a colecção de Russell). Deduz-se que y Î y se, e só se, y Ï y.

Após ter descoberto o paradoxo, Russell decide comunicar a Frege o sucedido através de uma carta.
Quando recebeu a dita carta, o segundo volume dos Grundgesetze estava quase a ser publicado. Frege viu, deste modo, grande parte do seu trabalho perdido. Consciente das dificuldades que o paradoxo lhe trazia, Frege acrescentou um apêndice ao livro como resposta a esta descoberta de Russell no qual não pode deixar de expressar uma enorme consternação:

``Um cientista dificilmente se pode deparar com algo tão indesejável como o de ver os fundamentos ruírem exactamente quando o seu trabalho está terminado. Fui colocado nesta posição por uma carta do Sr. Bertrand Russell, quando o trabalho já estava quase todo impresso.''

Em resultado do paradoxo, Frege viu-se obrigado a abandonar muitas dos seus pontos de vista. Russell, que entretanto publica "The Principles of Mathematics" (1903), acrescenta também ao seu livro um apêndice onde explica em detalhe o paradoxo.

Segundo Russell, o paradoxo surge por haver uma violação do princípio do círculo vicioso. Em colaboração com Alfred North Whitehead, Russell reformula e recupera o programa logicista de Frege baseando-se para isso no bloqueio dos círculos viciosos através da doutrina dos tipos lógicos. Resulta daí a denominada teoria dos tipos que se revelou uma forma problemática de desenvolver a teoria dos conjuntos. Modernamente, evita-se o paradoxo porque nos abstemos de considerar que a propriedade «x Î x» define um conjunto. Dito de outro modo, a colecção de Russell não é um conjunto, é uma classe.

Há em Sevilha um barbeiro que reúne as duas condições seguintes:

1- Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias.
2- Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

O paradoxo surge quando tentamos saber se o desventurado barbeiro faz a barba a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si próprio, para não violar a condição 2; mas se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a condição 1.