Teorema (Poincaré-Hopf)
Seja $X$ uma variedade orientada compacta
com bordo $\partial X$.
Seja $\xi$ um campo vectorial sobre
$X$ com
(i) todas as singularidades isoladas, e
(ii) apontando para fora de $X$ em todos os pontos de
$\partial X$.
Então a soma dos índices das singularidades de $\xi$ satisfaz
$$ \chi(X)= \sum_{\xi(x)=0} {\rm Ind}_x(\xi) $$
Lema (Hopf)
Seja $X\subset \mathbb{R}^n$
uma variedade compacta
com bordo e $\dim(X)=n$.
Seja $\xi$ um campo vectorial sobre $X$ com
(i) todas as singularidades isoladas, e
(ii) apontando para fora de $X$ em todos os pontos de $\partial X$.
Seja $g\colon \partial X \to \mathbb{R}^n$
a aplicação de Gauss do bordo $\partial X$.
Então
$$ \mathrm{deg}(g) = \sum_{\xi(x)=0} {\rm Ind}_x(\xi) $$
>> Prova do Lema de Hopf
>> Teoria do Grau
