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O triângulo isósceles OPQ é o ponto de
partida. No lado PQ estão de novo desenhados dois triângulos isósceles
A1 e B1. Continuando esta subdivisão, obtemos os triângulos C1, D1, E1,
F1, A2, B2, C2, etc...(conforme mostra a figura). Repare-se que,
repetindo “infinitas vezes” tal processo, vamos sempre voltar ao ponto
de partida, mas sempre reduzindo o tamanho da figura para metade. De forma aritmética,
podemos dizer que, se QU tiver comprimento 1,
então os seguintes medem, respectivamente 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32...
Temos assim representado um número infinito de quadrados uns sob
outros, que se tornam cada vez mais pequenos.
Esta figura é, sem dúvida, interessante! Mas o que a torna realmente
fascinante é o seu preenchimento com lagartos.
O mesmo esquema está na base da gravura
Limite Quadrado
(1964) à cerca da qual, numa carta Escher observou:
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“...o professor
Coxeter
chamou-me a atenção para o método da redução de dentro para
fora, o qual anos em vão, tinha procurado. Pois uma redução de
fora para dentro (como em
Cada vez mais Pequeno I) não traz
nenhuma satisfação filosófica porque assim não resulta nenhuma
composição logicamente acabada e perfeita...”.
(cit. in Ernest, 1978, p.104-105) |
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Limite Quadrado
(1964) |
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Gravuras com espiral
As xilogravuras,
Turbilhões
(1957),
Senda da
Vida I (1958),
Senda da Vida
II (1958) e
Senda da Vida III
(1966), são alguns exemplos deste grupo.
O diagrama que lhes está na base é tão somente uma série de espirais
logarítmicas. Engraçado é saber que Escher, porque não conhecia o
conceito de logaritmo, teve de algum modo de o construir por si
próprio.
No entanto, o objectivo destas obras não é só
a representação do infinitamente pequeno. Há algo mais por detrás
destas gravuras!
Nelas Escher procura estabelecer uma analogia
ao ritmo biológico (nascimento, crescimento e morte) como que expressando o crescimento do
próprio infinitamente pequeno, a seu pulsar vital até ao infinitamente
grande e, depois, o seu
regresso, de novo, ao infinitamente pequeno.
Vejamos com alguma atenção, por exemplo,
Senda da vida II.
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A construção de Senda da Vida II |
Senda da Vida II (1958) |
Centremos o olhar no peixe grande, que está
em baixo à esquerda. Este, com a cauda branca e a cabeça cinzenta, é
contíguo à cauda de um segundo peixe, que por seu lado, é mais pequeno.
Assim, seguindo os peixes cada vez mais pequenos, caminha-se em
espiral (de cor vermelha) até ao centro, onde os peixes são tão
pequenos que não são passíveis de serem distinguidos. Temos assim a
aproximação ao “infinitamente pequeno”. Mas, partindo do “infinitamente
pequeno”, crescem peixes brancos, que, por meio de
uma espiral azul, se tornam cada vez maiores. Atingida a extremidade, a
espiral azul funde-se com a vermelha e, com isso, voltamos ao ponto de
partida. Neste ponto, os peixes mudam novamente de cor e reinicia-se o
ciclo.
A analogia biológica está feita. Um
peixe branco nasce no centro, cresce até atingir o seu tamanho máximo
e, envelhecido, volta como peixe cinzento a “desaparecer no infinito”
de onde partiu.
Gravuras de Coxeter
Foi num livro de
H. S. M. Coxeter
que Escher descobriu um diagrama que lhe chamou à atenção por
representar e possibilitar novas aproximações ao infinito.
Uma série de obras como o tema
Limite
Circular foram feitas à luz da
referida ilustração. Destacamos
Limite Circular I
(1958) e
Limite
Circular III (1958).
Sobre
Limite
Circular I Escher
escreveu :
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“Para além das três linhas rectas que passam pelo ponto
central o esqueleto desta figura consiste em menos arcos de circunferência com um raio sempre
mais curto, quanto mais se aproxima da periferia. Além disto
todas se intersectam em ângulo recto...”.
(cit. in Ernest,
1978, p.108) |
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Mas, segundo o autor, esta foi uma tentativa
não completamente sucedida,
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“...sendo a primeira tentativa,
mostra um sem número de defeitos. Não só a forma dos peixes
desenvolvidos em abstracções rectilíneas (...), mas também o
seu arranjo (...) deixa muito a desejar...”
(cit. in Ernest,
1978, p.108) |
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Melhor,
segundo Escher, é
Limite Circular III:
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“...na xilogravura a cores
Limite Circular III,
as deficiências do Limite
Circular I estão aqui
consideravelmente eliminadas. (...) Foram necessárias quatro
cores, para que cada fileira se distinga claramente das
outras. Como todas estas fileiras de peixes, vindas duma
distância infinita, sobem verticalmente como foguetes, da
periferia, e de novo para lá se dirigem, nem uma componente
alcançará alguma vez o limite. Pois para além é o «nada
absoluto». E no entanto este mundo redondo não pode existir
sem vácuo à sua volta – não simplesmente porque um interior
pressupõem um exterior, mas também porque é no «nada» que,
ordenados com exactidão geométrica, estão os pontos imateriais
médios dos arcos, com que o sistema é construído...”
(cit. in Ernest,
1978, p.109) |
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Serpentes
Apesar de
Serpentes
(1969) pertencer a este grupo de gravuras, optámos por distingui-la
das restantes. E isto porque, para além de ser a última gravura de
Escher, o diagrama que está na base da sua construção, de certa
forma, foi por ele adaptado do inicial feito por
Coxeter.
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Serpentes (1969) |
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Sabendo que teria que se submeter a
mais uma delicada operação, Escher aproveitou todas as oportunidades para
trabalhar naquela que viria a ser a sua última obra.
Nas gravuras anteriores, Escher empenhava-se no seu trabalho até ao extremo.
As aproximações ao
infinito eram feitas ao pormenor. Com a ajuda de uma lupa, como em
Cada vez mais
pequeno I, trabalhou pormenores
extremamente finos, abrindo na matriz
figuras com menos de meio milímetro (Ernest, 1978).
Contudo, neste último trabalho, é evidente algum desgaste. Não há a preocupação
de desenhar os anéis mais pequenos, de forma a construir uma
aproximação ao infinitamente pequeno com elevado grau de consistência.
Sobre esta gravura,
Escher confessa que procurou representar
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“...uma
cota de malha com pequenos anéis na margens e também no centro
dum circulo e entre eles grandes anéis. Através dos anéis
enrolam-se serpentes...”
(cit. in Ernest, 1978, p.111) |
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