Os algarismos da civilização indiana

    O subcontinente indiano foi berço de uma das mais antigas civilizações do mundo, cobrindo uma área maior  que a do Egipto e da Suméria.

    São do 3º milénio a.C. os primeiros vestígios matemáticos da civilização que se desenvolveu no vale do rio Indo. Na verdade, cerca de 2500 a.C., os  harapas adoptaram um sistema decimal (pelo menos é o que as investigações parecem indicar) de pesos e medidas.

    Entre 1500 a.C. e o século VII da era cristã dá-se uma invasão dos arianos (povo nómada da Ásia central). Mais tarde foi formada a civilização védica que resultou da fusão dos arianos com os povos que viviam na planície indo-gangética. Desta época foram encontrados os Vedas, conjunto de textos sagrados e os primeiros textos científicos - os Vedangas e os Sulbasutras (estes últimos descreviam algumas regras matemáticas tais como a construção de um quadrado com área igual à de um rectângulo dado, que eram utilizadas na construção precisa de altares para sacrifícios).

    Por volta 500 a.C. a civilização védica começa a entrar em decadência devido ao desenvolvimento das religiões budista e jainista, acompanhada pelo declínio da Matemática Védica. O florescimento da escola jainista tem como resultado o estudo da teoria dos números, permutações e combinações e o desenvolvimento de uma teoria do infinito. Porém, é no período clássico da civilização hindu, entre os séculos V e XII que se deu o maior desenvolvimento do estudo das ciências, da filosofia, da medicina, da literatura e, em particular, da matemática tendo aparecido matemáticos notáveis como Aryabata, Bramagupta, Mahavira e Bhaskara.
    A matemática e astronomia hindu chegaram aos árabes que a absorveram, refinaram e aumentaram antes de a transmitirem à Europa.

Os algarismos indianos

    A notação indiana arcaica consistia num agrupamento de traços verticais que representavam nove unidades. Posteriormente deu-se uma evolução da representação destes algarismos, com vista a torná-la mais rápida. Esta transformação deu origem aos algarismos dos brâhmî.

    O sistema das nove unidades indianas sofreu, ao longo do tempo, alterações idênticas à da escrita brâhmî.

    Na Índia existiam diferentes sistemas de numeração que variavam de região para região, no entanto todos estes sistemas derivavam da antiga notação brâhmî. Esta notação foi evoluindo ao longo dos tempos e deu origem aos algarismos de nâgarî.

    A representação dos números indianos era baseada no sistema posicional, tal como ilustra a figura:

Como contavam os indianos

     O cálculo dos indianos assentava na utilização de um bastonete que desenhava os algarismos na terra ou areia. Este método era designado por hisâb al ghubâr (cálculo com a poeira) ou hisâb 'alâ at turâb (cálculo com a areia). Para além do cálculo no solo, os indianos também utilizavam as pranchetas de cálculo, às quais chamavam takht al turâb (tabuleta de areia) ou takht al ghubâr (tabuleta de poeira).

A prancheta como ábaco de colunas

    Para representar um número neste ábaco eram traçadas colunas que correspondiam às várias ordens de unidades consecutivas. Cada coluna era preenchida com o algarismo correspondente à sua ordem de grandeza. No caso de algum dos algarismos que constituísse o número fosse zero, deixava-se a respectiva coluna em branco.

    Assim o número 21 040 era representado do seguinte modo:

    Para multiplicar, primeiramente dispunham-se os dois números na prancheta  de modo a que o primeiro algarismo (da direita) do número de baixo ficasse sempre sob o último algarismo (da esquerda). Seguidamente procediam-se a tantas etapas quantas as ordens decimais que houvesse no multiplicando, cada uma subdividindo-se em tantos produtos  quantos o número de algarismos do multiplicador. Sucessivamente apagavam-se os resultados dos cálculos intermédios.

    Considere-se a multiplicação 421×53:

No final de cada etapa avançavam todos os algarismos do multiplicador uma casa à direita.

    A verde estão indicados os produtos efectuados e a negrito os respectivos resultados obtidos.

Cálculos sem apagar os resultados intermédios

    Ainda que inventado pelos indianos, este método foi muito utilizado pelos árabes, os quais lhe chamaram a'mâl al hindi (procedimento dos indianos).

     Para multiplicar segundo este método, procede-se de modo análogo ao anterior. No entanto, os cálculos intermédios são guardados, riscando-se os que já não são necessários. Os que não são riscados, dispostos da esquerda para a direita, constituem o produto que se pretende.

    Considere-se o exemplo seguinte, que ilustra a multiplicação de 432 por 175:

"A multiplicação do ciúme"

    Este processo consiste em construir um quadro com tantas colunas quantas os algarismos do multiplicando e tantas linhas quantas os algarismos do multiplicador. Na parte de cima do quadro, partindo da esquerda para a direita, escrevem-se os algarismos do multiplicando, à direita do quadro, partindo de baixo para cima, escrevem-se os algarismos do multiplicador. Divide-se cada casa do quadro em duas semi-casas, traçando nelas a diagonal, a partir do canto superior esquerdo. Em cada casa escrever-se-á o produto relativo à linha e colunas correspondentes, o algarismo das dezenas na semi-casa inferior e o das unidades na semi-casa superior.

    O produto pretendido obtém-se somando os algarismos das faixas obliquas. A leitura do resultado é feita da esquerda para a direita e de baixo para cima.

    Considere-se o exemplo da multiplicação de 432 por 175:

    O resultado é 75 600.

O procedimento de Nasîr ad dîn at Tûsî   

    Neste processo, dispõem-se os números como actualmente (os algarismos correspondentes à mesma ordem de grandeza dispõem-se uns sobre os outros). De seguida multiplica-se o algarismo das unidades do multiplicador pelos algarismos que se encontram nos extremos do multiplicando e posteriormente pelo do meio. Procede-se analogamente para o algarismo das dezenas, centenas, etc. O resultado final é a soma dos todos os produtos parciais.

    Assim a multiplicação de 123 por 457 processa-se do seguinte modo:

O procedimento de Brâskarâchârya

    Este processo de multiplicação era designado por sthânakhanda (separação das posições) e consiste num método análogo ao anterior. No entanto, os algarismos do multiplicador são dispostos e multiplicados separadamente, tal como se ilustra na seguinte multiplicação

O procedimento de Brahmagupta

    Este método de multiplicar, designado por gomûtrika (semelhante à trajectória da urina da vaca), consiste em formar tantas linhas quantos os algarismos do multiplicador, nas quais se dispõem, de cima para baixo, os algarismos do multiplicador. Em cada uma das linhas coloca-se o multiplicador com uma translação para a direita de uma coluna. Multiplicando cada um dos algarismos do multiplicador pelos do multiplicando e somando estes resultados obtemos o resultado da multiplicação.

    Vejamos o seguinte exemplo: 457×123