Curiosidades sobre o Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é de Pascal?

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Com um pouco de bom senso é natural que suspeitemos que o triângulo aritmético não seja uma invenção de Pascal.

A denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Se bem que os franceses o chamem triângulo de Pascal, os chineses chamam-no de triângulo de Yang Hui, os italianos chamam-no de triângulo de Tarataglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.

As ideias sobre o triângulo aritmético foram redescobertas e introduzidas várias vezes e em todos os locais onde se estudou ou estuda Matemática.

Extracção, possivelmente aproximada, de raízes quadradas, cúbicas, quárticas,... era um dos procedimentos, usando a expansão do binómio de várias maneiras, mais populares  - conhecida há quase 2000 anos antes de Pascal:

(a+b)² = a² + 2ab + b² = a² + b (2a+b)

(a+b)³ = a³+3ab²+3ab²+b³ = a³+b (3a²+3ab+b²)

Vejamos os detalhes, tomando o caso concreto do cálculo de raiz quadrada de N=51.

O procedimento buscará escrever a tal raiz quadrada como a+b, de modo que 

N = (a+b)² = a² + b (2a+b)

A obtenção de a é fácil: basta acharmos um valor a que a² seja menor ou igual a N=51; a seguir obtemos o valor de b como o limite da sequência de aproximações que parte de bo= 0 e sucessivamente calcula b₁, b₂, etc... (geradas por iteração).

Conforme descobriu Tartaglia, cerca de 100 anos antes de Pascal, o triângulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um significado combinatorial e, então, contabilístico.

 Índia: 2 000 anos antes de Pascal

A matemática indiana teve inicio por volta do ano 3 000 aC, na região de Harappa e Mohenjodaro. Era uma matemática bem rudimentar e foi somente com a introdução da religião védica, que acompanhou a invasão ariana c. 1 500 aC, é que passamos a encontrar a resolução de problemas não triviais. 

A matemática védica era basicamente geométrica, toda voltada para os complicados rituais de construção dos altares para as cerimónias religiosas.

Cerca de 600 aC, com o esgotamento do vedismo na Índia, difundiram-se duas concepções religiosas, o budismo e o jainismo, ambas protestantes dos sacrifícios cruentes dos rituais védicos.

A palavra jaina  vem de jin, vitorioso em sânscrito, e indica aqueles que obtiveram vitória sobre os desejos mundanos e que tem os sentidos totalmente sob controlo da vontade. Para atingir essa perfeição, os jainas passavam por um longo treinamento, sendo que o estudo da Ganitanuyoga, ou Matemática, era considerado como um dos exercícios mais nobres e eficazes do mesmo.

Entre vários temas matemáticos estudados pelos jainas estava a Vikalpa, ou Combinatória. A razão maior da grande atenção que deram à Combinatória era a sua concepção atomística do mundo físico. O seu átomo, que chamaram de parmanu, era uma partícula indivisível, atemporal, e tal que apenas a sua cor, gosto, cheiro e tactibilidade podiam mudar. Com efeito, os seus átomos tinham 5 tipos de cor, 8 tipos de tactibilidade, 5 gostos possíveis e 2 cheiros distintos. Boa parte da sua combinatória envolvia problemas de cálculo das combinações das qualidades dos átomos.

Como todo o corpo vivo ou físico era composto de átomos, com o passar dos anos, também se dedicaram a calcular combinações das qualidades de praticamente tudo o que existe de material e até mesmo no mundo das ideias e do espírito:

• quantos são os perfumes de três fragrâncias que podemos fazer se tivermos cinco fragrâncias disponíveis?

• quantas são as combinações que podem ser feitas com os seis rasas (gostos, quais seja: doce, salgado, amargo adstringente, ácido e azedo)?

• quantas são as combinações das três sílabas: ba, be, bi ?

• quantos são os possíveis arranjos de objectos que o deus Sambhu pode segurar em dez mãos?

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Só com Pingala 200 aC - quase 2 000 anos de Pascal - é que encontramos o triângulo aritmético, apesar de já existirem livros com algumas regras ( sutras ) para o cálculo de combinatória e arranjos.

O envolvimento de Pingala com o triângulo resultou do estudo de métricas musicais na versificação. Com efeito, ele observou que a expansão de, sucessivamente, métricas de uma, duas, três ... sílabas podia ser disposta sob a forma de um padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético o qual denominou meruprastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru.

Para classificar, observemos um exemplo numérico:

Para calcular as combinações das três sílabas ba, be, bi ele ia até à quarta linha do meruprastar, 1 3 3 1, e então concluia:

• 3 combinações de uma sílaba: ba, be, bi

• 3 combinações de duas sílabas: babe, babi, bebi

• 1 combinação de três sílabas: babebi

 

Para construir o triângulo, Pingala descreve a seguinte regra:

Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenho dois outros, de modo que se juntem no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreve 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos , e no meio escreva a soma dos números acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas. Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante.

Muitos séculos depois de Pingala, no livro de Halayudha ainda encontramos o merupratara e regra de Pingala.

China: 1 700 anos de Pascal

Os antigos chineses usavam o  triângulo aritmético essencialmente no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas, ...

Não possuindo uma álgebra literal todo o seu tratamento de problemas algébricos era baseado numa notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento que precedeu o conhecimento suan pan, o ábaco chinês).

Um dos livros chineses mais antigos, o Jiuzhang Suanshu, escrito cerca de 100 aC  possui um capítulo dedicado ao ensino de procedimentos de extracção de raízes quadradas e cúbicas. Esses procedimentos são baseados nas identidades, já anteriormente apontadas:

(a+b)² = a² + 2 ab + b² = a² + b (2a + b)

(a+b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² +b³ = a³ + b (3 a² + 3 ab + b²)

Um dos procedimentos de cálculo é exactamente o que descrevemos acima. Por exemplo, ele é aplicado na resolução de vários problemas que têm a seguinte estrutura:

Temos uma área quadrada de 55 225 pu (quadrados). Qual é o valor do lado do quadrado?

Se aplicarmos o método que descrevemos inicialmente, tomando a=200, ficamos com a iteração

bn+1 = 15225 / (400+bn)

que, a partir da clássica semente bo=0, produz as sucessivas aproximações 38, 34, 35, 35, 35, etc, ou seja. o valor exacto do lado pedido é: 200+35=235 pu!

 

O documento chinês mais antigo que temos e que traz o triângulo é o Manual de Matemática de Jia Xian, c. 1050 dC.

Triângulo de Yang Hui

O mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético foi Yang Hui c. 1250 d.C. Ele escreveu cerca de dez livros, sendo que em ao menos dois desses (Alfa e ômega de uma selecção de aplicações de métodos aritméticos e o Uma análise detalhada dos métodos do livro " Nove capítulos") ele estuda e aplica o triângulo aritmético.

Também é importante mencionarmos o livro Precioso espelho dos quatro elementos, escrito c. 1300 dC por Zhu Shijie. Este livro traz figuras de triângulos com até nove linhas e o seu autor domina-os diagramas do método antigo para calcular grandes potências.

Islão: 500 anos antes de Pascal

A reconstituição do início do envolvimento dos matemáticos de religião islâmica com o triângulo aritmético é difícil pois que os principais documentos associados perderam-se na noite dos tempos. Contudo é razoavelmente garantido podermos afirmar que, a maioria dos islamitas aprenderam o triângulo aritmético através de compilações escritas em árabe de livros indianos, como é o caso do Princípios do Cálculo Hindu, escrito por al Jili c. 1000 dC, e o Coisas suficientes para entender o Cálculo Hindu, por al Nasawi, também em c. 1000 dC.

Segundo grandes especialistas em história da matemática islâmita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o triângulo teria sido descoberto para obter o desenvolvimento de potências quadrática, cúbica e quártica de binómios nos seus tratados de álgebra: o al Fakhri e o al Badi.

Outro grande matemático islamita a envolver-se com o triângulo aritmético foi o famoso poeta e matemático persa Umar al-Khayyami c. 1151 d.C. No seu Tratado de demonstrações de problemas de Álgebra e Almuqabala, ele refere que escreveu um livro sobre o triângulo aritmético e a sua aplicação na extracção aproximada de raízes quadradas, cúbicas,... (hoje totalmente perdido).

Na mesma época um outro matemático islamita, al Samaw'al, teve um grande envolvimento com o triângulo. Aos 19 anos escreveu um tratado de álgebra onde corrigiu e expandiu o trabalho de al Karaji sobre o triângulo e o binómio de Newton; no seu livro é possível observar-se uma figura do triângulo com 12 linhas, e a demonstração por indução matemática da validade do binómio de Newton.

Europa: 100 anos antes de Pascal

Foram muitos os matemáticos que, um século antes de Pascal, trabalharam com o triângulo aritmético.

O mais antigo parece ter sido Apianus, matemático alemão. Publicou em 1527 um livro intitulado: Rechnung (Cálculo) cuja capa era o triângulo. No entanto o alemão que mais divulgou o triângulo aritmético foi Stifel, principalmente através da Arithmetica Integra em 1544.

Pouco depois dos alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo. Tartaglia foi o que mais se dedicou a ele dando-lhe extrema importância em General Tratado di numeri et misure no ano de 1556. Após este matemático, também outros se dedicaram ao tema como Cardan, Bombelli. 

De entre os franceses o que mais divulgou o triângulo antes de Pascal foi Peletier, através da sua Arithmétique, sendo a sua primeira edição em 1549. Também Girard (1629), Mersenne (1636) e outros conheciam este triângulo.