O Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.

...

Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).

NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.

Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:

sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).

Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.

Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.

Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.

A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:

Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução. 

Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao resultado

Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que

ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.

Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da potência de a na expansão de

Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro.

Outras propriedades do triângulo de Pascal 

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É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos  equidistantes aos extremos do triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, ⁿC_p= ⁿC_n-p com n, pÎN₀, n³p.

Encontramos também os números naturais aqui, na 2^ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele.

Temos como exemplo na linha 7:

1   7   21   35   35   21   7   1

como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.

Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.

Assim temos

Linha 0: 2⁰=1

Linha 1: 2¹=2

Linha 2: 2²=4

Linha 3: 2³=8

...

Podemos verificar também que existem potências de 11, neste triângulo.

Linha 0:  11⁰=1(10⁰)=1

Linha 1:  11¹=1(10¹)+1(10⁰)=10+1=11

Linha 2:  11²=1(10²)+2(10¹)+1(10⁰)=100+20+1=121

Linha 3:  11³=1(10³)+3(10²)+3(10¹)+1(10⁰)=1000+300+30+1=1331

Linha 4:   11⁴=1(10⁴)+4(10³)+6(10²)+4(10¹)+1(10⁰)=14641

...

Concluímos assim que:

• a maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos a considerar;

• os coeficientes das potências são os elementos da linha em questão;

• a potência de 11 corresponde à maior potência apresentada na soma, ou seja, o número da linha.

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Na 3ª diagonal encontramos os números triangulares, estes pertencem à categoria dos números figurados (descobertos por matemáticos das escolas pitagóricas) pois formam figuras geométricas, neste caso triângulos como é exemplificado:

É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares dois pares, podendo ser alcançados através de sucessões por recorrência através da fórmula T(n)= n(n+1)/2 (a partir dos n-1 elementos conseguimos alcançar o elemento n).

Como a partir dos números triangulares se podem obter os números hexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui também.

Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos o primeiro elemento ao segundo (1+3) obtemos o 4 que é um número quadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamos com o número 9, também ele um número quadrado, e assim por diante. Para além do que estamos habituados a fazer (a²) podemos também representar estes números sobre a forma geométrica

Na 4ª diagonal podemos observar mais alguns números figurados tais como os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ...). Estes, de acordo com os esquemas anteriores também representam formas geométricas, neste caso um tetraedro (pirâmide regular com base triangular).

A sua fórmula é:

sendo o seu termo geral :

 

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Pode-se observar no triângulo alguns padrões:

Padrão do Stick de Hóquei

								1
							1		1
						1		2		1
					1		3		3		1
				1		4		6		4		1
			1		5		10		10		5		1
		1		6		15		20		15		6		1
	1		7		21		35		35		21		7		1
1		8		28		56		70		56		28		8		1

...

Neste padrão verifica-se que um certo número de uma diagonal somados equivale ao número imediatamente abaixo, não estando nessa mesma diagonal.

Pode-se constatar tal resultado através de uma fórmula combinatorial, bastante útil:

Padrão da espiga

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

...

Considerando as diagonais do Triângulo. Pode-se verificar que a soma dos primeiros n elementos da n-ésima diagonal é igual ao (n+1)-ésimo elemento dessa mesma diagonal. É interessante observar que esses elementos das diagonais vão estar todos numa coluna.

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Relacionados com este padrão aritmético estão também os números de Fibonacci.

								1
							1		1
						1		2		1
					1		3		3		1
				1		4		6		4		1
			1		5		10		10		5		1
		1		6		15		20		15		6		1
	1		7		21		35		35		21		7		1
1		8		28		56		70		56		28		8		1

...

Assim podemos ver 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... que correspondem aos números de Fibonacci, podendo também ser obtidos por recorrência a partir da seguinte fórmula:

 F(1)=F(2)=1

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

Números de Catalan

Se aos elementos centrais do triângulo os dividissemos pelos números naturais respectivamente, obteríamos a sucessão:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ...

que se chamam números de Catalan.

Assim genericamente temos:

Cⁿ = [1/(n+1)] x ²ⁿC_n = (2n)! /(n!(n+1)!)

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O triângulo de Sierpinsky

Este triângulo é um fractal, ou seja, é um processo recursivo, que neste caso, em particular se vai repetindo o número de triângulos equiláteros.

Se ao triângulo de Pascal apagarmos os números ímpares o resultado é um triângulo de Sierpinsky, o mesmo sucede se em vez dos pares tivermos os ímpares. Ora vejamos,

												1
											1		1
										1		2		1
									1		3		3		1
								1		4		6		4		1
							1		5		10		10		5		1
						1		6		15		20		15		6		1
					1		7		21		35		35		21		7		1
				1		8		28		56		70		56		28		8		1
			1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
		1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1
	1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1

...

De modo análogo teríamos para os números ímpares.

Para quem quiser explorar mais o triângulo de Pascal aconselhamos que tente, de modo análogo ao que fizemos, pintar todos os divisores de 3, e de 4, ... Verifica-se um certo padrão, que deixamos ao encargo do leitor a sua descoberta...